与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める。

はい、承知いたしました。問題の1番から順に解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 12x + 1$

まず、第一導関数を計算します。

$y' = 3x^2 - 6x - 12$

次に、第二導関数を計算します。

$y'' = 6x - 6$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x - 6 = 0$

$x = 1$

$x < 1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > 1$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

したがって、$x=1$ は変曲点です。

$x = 1$ のとき、$y = 1^3 - 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 1 - 3 - 12 + 1 = -13$

よって、変曲点の座標は $(1, -13)$

(2) $y = x^2 - \frac{8}{x}$

$y = x^2 - 8x^{-1}$

$y' = 2x + 8x^{-2}$

$y' = 2x + \frac{8}{x^2}$

$y'' = 2 - 16x^{-3}$

$y'' = 2 - \frac{16}{x^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2 - \frac{16}{x^3} = 0$

$2 = \frac{16}{x^3}$

$x^3 = 8$

$x = 2$

$x < 2$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > 2$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

ただし、定義域は $x \neq 0$

したがって、$x=2$ は変曲点です。

$x = 2$ のとき、$y = 2^2 - \frac{8}{2} = 4 - 4 = 0$

よって、変曲点の座標は $(2, 0)$

(3) $y = \frac{x^3}{x^3 - 1}$

$y = \frac{x^3 - 1 + 1}{x^3 - 1} = 1 + \frac{1}{x^3 - 1}$

$y = 1 + (x^3 - 1)^{-1}$

$y' = -1 (x^3 - 1)^{-2} \cdot 3x^2 = \frac{-3x^2}{(x^3 - 1)^2}$

$y'' = \frac{-6x(x^3 - 1)^2 - (-3x^2) \cdot 2 (x^3 - 1) \cdot 3x^2}{(x^3 - 1)^4}$

$y'' = \frac{-6x(x^3 - 1) + 18x^4}{(x^3 - 1)^3} = \frac{-6x^4 + 6x + 18x^4}{(x^3 - 1)^3} = \frac{12x^4 + 6x}{(x^3 - 1)^3}$

$y'' = \frac{6x(2x^3 + 1)}{(x^3 - 1)^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x(2x^3 + 1) = 0$

$x = 0$ または $2x^3 + 1 = 0$

$x = 0$ または $x^3 = -\frac{1}{2}$

$x = 0$ または $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

$x=1$ は定義域に含まれないため除外。

$x < -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < x < 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$0 < x < 1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > 1$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

よって、変曲点の座標は $(0, 0)$ と $(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{-1/2}{-1/2-1}) = (-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, 1/3)$

よって、変曲点の座標は $(0,0)$ と $(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{1}{3})$

(4) $y = \log(x^2 + 1)$

$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$y'' = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}$

$y'' = \frac{-2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-2(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$-1 < x < 1$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$x < -1$ または $x > 1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

よって、変曲点の座標は $(-1, \log(2))$ と $(1, \log(2))$

(5) $y = (x^2 - 1)e^{-x}$

$y' = 2xe^{-x} - (x^2 - 1)e^{-x} = (2x - x^2 + 1)e^{-x} = (-x^2 + 2x + 1)e^{-x}$

$y'' = (-2x + 2)e^{-x} - (-x^2 + 2x + 1)e^{-x} = (x^2 - 4x + 1)e^{-x}$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$(x^2 - 4x + 1)e^{-x} = 0$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

$x < 2 - \sqrt{3}$ または $x > 2 + \sqrt{3}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

よって、変曲点の座標は $(2 - \sqrt{3}, (2-\sqrt{3})^2-1)e^{-(2-\sqrt{3})}$と$(2 + \sqrt{3}, (2+\sqrt{3})^2-1)e^{-(2+\sqrt{3})}$

計算を簡単にするために、 $(2 \pm \sqrt{3})^2 - 1 = 4 \pm 4\sqrt{3} + 3 - 1 = 6 \pm 4\sqrt{3}$

したがって、変曲点の座標は $(2 - \sqrt{3}, (6-4\sqrt{3})e^{-(2-\sqrt{3})})$と$(2 + \sqrt{3}, (6+4\sqrt{3})e^{-(2+\sqrt{3})})$

(6) $y = e^{-x} \cos x$ ($0 \leq x \leq 2\pi$)

$y' = -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$

$y'' = e^{-x}(\cos x + \sin x) - e^{-x}(-\sin x + \cos x) = e^{-x}(\cos x + \sin x + \sin x - \cos x) = 2e^{-x} \sin x$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2e^{-x} \sin x = 0$

$\sin x = 0$

$x = 0, \pi, 2\pi$

$0 < x < \pi$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$\pi < x < 2\pi$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

よって、変曲点の座標は $(\pi, -e^{-\pi})$

3. 最終的な答え

(1) 変曲点の座標: $(1, -13)$

(2) 変曲点の座標: $(2, 0)$

(3) 変曲点の座標: $(0,0)$, $(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{1}{3})$

(4) 変曲点の座標: $(-1, \log(2))$, $(1, \log(2))$

(5) 変曲点の座標: $(2 - \sqrt{3}, (6-4\sqrt{3})e^{-(2-\sqrt{3})})$, $(2 + \sqrt{3}, (6+4\sqrt{3})e^{-(2+\sqrt{3})})$

(6) 変曲点の座標: $(\pi, -e^{-\pi})$