次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x^2 - x}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x^2 - x}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - x = x(x-1)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x^2 - x} = \lim_{x \to 0} \frac{x-2}{x(x-1)}$

$x$ が0に近づくとき、$x-2$ は $-2$ に近づき、$x-1$ は $-1$ に近づきます。

分母は、$x$が0に近づくので、$x(x-1)$ は0に近づきます。

$x$ が 0 に近づくとき、 $x < 0$ ならば $x(x-1) > 0$ であり、$x > 0$ ならば $x(x-1) < 0$ です。

したがって、 $x$ を 0 に近づける方向によって極限が異なります。

$x \to 0^+$ のとき、$\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{x-2}{x(x-1)} \to \frac{-2}{0^-} \to +\infty$

$x \to 0^-$ のとき、$\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{x-2}{x(x-1)} \to \frac{-2}{0^+} \to -\infty$

右からの極限と左からの極限が異なるため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。