関数 $\sqrt[3]{f(x)}$ の微分を求めます。ただし、$f(x)$ は微分可能な関数です。

## 数学の問題の解答

以下に、提示された数学の問題を解きます。問題文が判読しづらい部分があるため、いくつかの箇所は推測を含みます。

**(1) 微分可能な関数 $f$ に対し、$\sqrt[3]{f(x)}$を微分せよ。**

1. 問題の内容

関数 $\sqrt[3]{f(x)}$ の微分を求めます。ただし、$f(x)$ は微分可能な関数です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を使います。

$y = \sqrt[3]{f(x)} = (f(x))^{1/3}$ とおきます。

合成関数の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df} \cdot \frac{df}{dx}$

$\frac{dy}{df} = \frac{1}{3} (f(x))^{-2/3} = \frac{1}{3 (f(x))^{2/3}}$

$\frac{df}{dx} = f'(x)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3 (f(x))^{2/3}} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{3 \sqrt[3]{(f(x))^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \sqrt[3]{f(x)} = \frac{f'(x)}{3 \sqrt[3]{(f(x))^2}}$

**(2) $\frac{1}{e^x}$ を微分せよ。**

1. 問題の内容

関数 $\frac{1}{e^x}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ とおきます。

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d(e^{-x})}{dx} = e^{-x} \cdot \frac{d(-x)}{dx} = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{e^x}) = -e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$

**(3) 定数 $\alpha$, $\beta$ に対し、$x^\alpha x^\beta$ を微分せよ。**

1. 問題の内容

関数 $x^\alpha x^\beta$ の微分を求めます。ただし、$\alpha$ と $\beta$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、指数法則を用いて関数を簡略化します。

$x^\alpha x^\beta = x^{\alpha + \beta}$

次に、この関数を微分します。$\alpha + \beta$ も定数なので、$x^n$ の微分の公式が使えます。

$\frac{d}{dx} (x^{\alpha + \beta}) = (\alpha + \beta) x^{\alpha + \beta - 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} (x^\alpha x^\beta) = (\alpha + \beta) x^{\alpha + \beta - 1}$

**(4) 定数 $\alpha$, $\beta$ に対し、$(x^\alpha)^\beta$ を微分せよ。**

1. 問題の内容

関数 $(x^\alpha)^\beta$ の微分を求めます。ただし、$\alpha$ と $\beta$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、指数法則を用いて関数を簡略化します。

$(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha \beta}$

次に、この関数を微分します。$\alpha \beta$ も定数なので、$x^n$ の微分の公式が使えます。

$\frac{d}{dx} (x^{\alpha \beta}) = (\alpha \beta) x^{\alpha \beta - 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} ((x^\alpha)^\beta) = \alpha \beta x^{\alpha \beta - 1}$

**(5) $\frac{\sin x}{1 + \cos x}$ を微分せよ。**

1. 問題の内容

関数 $\frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \sin x$, $v = 1 + \cos x$ とおくと、

$u' = \cos x$, $v' = -\sin x$

したがって、

$\frac{d}{dx} (\frac{\sin x}{1 + \cos x}) = \frac{\cos x (1 + \cos x) - \sin x (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} (\frac{\sin x}{1 + \cos x}) = \frac{1}{1 + \cos x}$

**(6) $\log(x + \sqrt{1 + x^2})$ を微分せよ。**

1. 問題の内容

関数 $\log(x + \sqrt{1 + x^2})$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を使います。

$y = \log(x + \sqrt{1 + x^2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{d}{dx} (x + \sqrt{1 + x^2})$

$\frac{d}{dx} (x + \sqrt{1 + x^2}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{x + \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{1 + x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$