$0 \le x \le 1$ のとき、$1 \le 1+x^2 \le 1+x$ であることを用いて、不等式 $\log 2 < \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} < 1$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 1$ のとき、$1 \le 1+x^2 \le 1+x$ であることを用いて、不等式 $\log 2 < \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} < 1$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$0 \le x \le 1$ のとき、$1 \le 1+x^2 \le 1+x$ が成り立つことから、積分範囲 $0 \le x \le 1$ において、$\frac{1}{1+x}$ と $\frac{1}{1+x^2}$ と $1$ の大小関係を求めます。次に、それぞれの逆数を取ると不等号の向きが反転するので、以下のようになります。

$$$$

\frac{1}{1+x} \le \frac{1}{1+x^2} \le 1

$$$$

次に、それぞれの辺を $0$ から $1$ まで積分します。積分範囲が同じなので、以下の不等号が成り立ちます。

$$$$

\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx \le \int_0^1 1 dx

$$$$

それぞれの積分を計算します。

$$$$

\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = [\log(1+x)]_0^1 = \log(2) - \log(1) = \log 2

$$$$

$$$$

\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}

$$$$

$$$$

\int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1

$$$$

したがって、

$$$$

\log 2 \le \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx \le 1

$$$$

$\log 2 \approx 0.693$, $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ であるので、$\log 2 < \frac{\pi}{4} < 1$ となります。

よって、$\log 2 < \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} < 1$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\log 2 < \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} < 1$