問題は2つあります。 (1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin{2\theta} \cos{\theta} > 0$ を解く。ただし、$\frac{1}{2} < \frac{5}{6}$ とする。解答形式は、$\frac{[1]}{[2]}\pi < \theta < \frac{[3]}{[4]}\pi, \frac{[5]}{[6]}\pi < \theta < \frac{[7]}{[8]}\pi$。 (2) $3\cos{\theta} + 2\sin{\theta}$ を $r\sin{(\theta + \alpha)}$ の形に変形する。ただし、$r > 0, -\pi < \alpha \le \pi$ とする。解答形式は、$\sqrt{\frac{[9]}{[10]}}\sin{(\theta+\alpha)}$。ただし、$\alpha$ は $\sin{\alpha} = \frac{[11]}{\sqrt{\frac{[9]}{[10]}}}$, $\cos{\alpha} = \frac{[12]}{\sqrt{\frac{[9]}{[10]}}}$ を満たす角。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin{2\theta} \cos{\theta} > 0$ を解く。ただし、$\frac{1}{2} < \frac{5}{6}$ とする。解答形式は、$\frac{[1]}{[2]}\pi < \theta < \frac{[3]}{[4]}\pi, \frac{[5]}{[6]}\pi < \theta < \frac{[7]}{[8]}\pi$。

(2) $3\cos{\theta} + 2\sin{\theta}$ を $r\sin{(\theta + \alpha)}$ の形に変形する。ただし、$r > 0, -\pi < \alpha \le \pi$ とする。解答形式は、$\sqrt{\frac{[9]}{[10]}}\sin{(\theta+\alpha)}$。ただし、$\alpha$ は $\sin{\alpha} = \frac{[11]}{\sqrt{\frac{[9]}{[10]}}}$, $\cos{\alpha} = \frac{[12]}{\sqrt{\frac{[9]}{[10]}}}$ を満たす角。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin{2\theta} \cos{\theta} > 0$ を解く。$\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$ だから、$2\sin{\theta}\cos^2{\theta} > 0$ となる。$\cos^2{\theta} \ge 0$ なので、$\sin{\theta} > 0$ かつ $\cos{\theta} \ne 0$ である必要がある。

$\sin{\theta} > 0$ となるのは、$0 < \theta < \pi$ のとき。$\cos{\theta} = 0$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ のとき。

したがって、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ となる。

与えられた条件と形式に合わせると、$\frac{0}{2}\pi < \theta < \frac{1}{2}\pi$, $\frac{1}{2}\pi < \theta < \frac{2}{2}\pi$。

$\frac{1}{2} < \frac{5}{6}$より、解答形式に合わせると$\frac{0}{1}\pi<\theta<\frac{1}{2}\pi$, $\frac{1}{2}\pi<\theta<\frac{1}{1}\pi$である。

これは $\frac{0}{2}\pi<\theta<\frac{1}{2}\pi$, $\frac{1}{2}\pi<\theta<\frac{2}{2}\pi$ と同じ。

(2)

$3\cos{\theta} + 2\sin{\theta} = r\sin{(\theta + \alpha)} = r(\sin{\theta}\cos{\alpha} + \cos{\theta}\sin{\alpha}) = r\cos{\alpha}\sin{\theta} + r\sin{\alpha}\cos{\theta}$.

よって、$r\cos{\alpha} = 2, r\sin{\alpha} = 3$.

$r^2 = (r\cos{\alpha})^2 + (r\sin{\alpha})^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ より、$r = \sqrt{13}$.

したがって、$3\cos{\theta} + 2\sin{\theta} = \sqrt{13}\sin{(\theta + \alpha)}$ であり、$\sin{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{13}}$, $\cos{\alpha} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

3. 最終的な答え

(1)

[1] = 0, [2] = 1, [3] = 1, [4] = 2, [5] = 1, [6] = 2, [7] = 2, [8] = 2

(2)

[9] = 13, [10] = 1, [11] = 3, [12] = 2

最終的な解答は以下の通り。

(1) $\frac{0}{1}\pi < \theta < \frac{1}{2}\pi$, $\frac{1}{2}\pi < \theta < \frac{1}{1}\pi$

(2) $\sqrt{13}\sin{(\theta + \alpha)}$

ただし、$\sin{\alpha} = \frac{3}{\sqrt{13}}$, $\cos{\alpha} = \frac{2}{\sqrt{13}}$