与えられた6つの関数 $y$ について、それぞれ導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数 $y$ について、それぞれ導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x+2}$

合成関数の微分公式を用います。$u = 3x+2$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$、$\frac{du}{dx} = 3$ なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x+2}$

(2) $y = e^{x^2}$

合成関数の微分公式を用います。$u = x^2$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$、$\frac{du}{dx} = 2x$ なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $y = e^{\frac{-1}{1-x^2}}$

合成関数の微分公式を用います。$u = \frac{-1}{1-x^2} = -(1-x^2)^{-1}$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$、$\frac{du}{dx} = -(-1)(1-x^2)^{-2}(-2x) = \frac{-2x}{(1-x^2)^2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)^2} = \frac{-2x}{(1-x^2)^2}e^{\frac{-1}{1-x^2}}$

(4) $y = xe^{-2x}$

積の微分公式と合成関数の微分公式を用います。$u = x$、$v = e^{-2x}$ とおくと、$y = uv$ です。

$\frac{du}{dx} = 1$、$\frac{dv}{dx} = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-2x} + x \cdot (-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1-2x)e^{-2x}$

(5) $y = e^{x^2+x+1}$

合成関数の微分公式を用います。$u = x^2+x+1$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{du} = e^u$、$\frac{du}{dx} = 2x+1$ なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (2x+1) = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $y = 5^{3x^3+2x+1}$

合成関数の微分公式と、$a^x$ の微分公式 $(\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a)$ を用います。$u = 3x^3+2x+1$ とおくと、$y = 5^u$ です。

$\frac{dy}{du} = 5^u \ln 5$、$\frac{du}{dx} = 9x^2+2$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5^u \ln 5 \cdot (9x^2+2) = (9x^2+2)5^{3x^3+2x+1} \ln 5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3e^{3x+2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1-x^2)^2}e^{\frac{-1}{1-x^2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = (1-2x)e^{-2x}$

(5) $\frac{dy}{dx} = (2x+1)e^{x^2+x+1}$

(6) $\frac{dy}{dx} = (9x^2+2)5^{3x^3+2x+1} \ln 5$