関数 $f(x) = \frac{1}{2x-4}$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $y = f(x)$ の漸近線を求め、逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。 (2) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{2x-4}$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $y = f(x)$ の漸近線を求め、逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。

(2) 逆関数 $y = f^{-1}(x)$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1)

漸近線について：

$f(x)$ の定義域は $2x-4 \neq 0$ より、$x \neq 2$。したがって、$x=2$ が垂直な漸近線である。

$x$ が非常に大きくなるにつれて、$f(x)$ は $0$ に近づく。したがって、$y=0$ が水平な漸近線である。

逆関数について：

$y = f(x) = \frac{1}{2x-4}$ とする。

$x$ と $y$ を入れ替えて、$x = \frac{1}{2y-4}$ とする。

$x(2y-4) = 1$

$2xy - 4x = 1$

$2xy = 4x + 1$

$y = \frac{4x+1}{2x}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{4x+1}{2x} = 2 + \frac{1}{2x}$

(2)

逆関数 $y = f^{-1}(x) = \frac{4x+1}{2x} = 2 + \frac{1}{2x}$ のグラフを描く。

垂直漸近線は $x=0$ であり、水平漸近線は $y=2$ である。

$f^{-1}(x) = 0$ となる $x$ は存在しない。

$x=1$ のとき、$f^{-1}(1) = \frac{4(1)+1}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2.5$

$x=-1$ のとき、$f^{-1}(-1) = \frac{4(-1)+1}{2(-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} = 1.5$

3. 最終的な答え

(1) 漸近線: $x=2$, $y=0$

逆関数: $f^{-1}(x) = \frac{4x+1}{2x}$

(2) 逆関数のグラフ：グラフはx軸に垂直な漸近線x=0とy軸に平行な漸近線y=2を持つ双曲線。