(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める。 (2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{3}x + \sqrt{3}$ と $y = -\sqrt{2}x - 1$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める。

(2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{3}x + \sqrt{3}$ と $y = -\sqrt{2}x - 1$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin \alpha$ の値を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ なので $\sin \alpha > 0$。したがって、

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\sin 2\alpha$ の値を求める。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

最後に、$\cos 2\alpha$ の値を求める。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{1}{9}$

(2)

$y = \frac{2\sqrt{2}}{3}x + \sqrt{3}$ の傾きは $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ であり、$y = -\sqrt{2}x - 1$ の傾きは $-\sqrt{2}$ である。

それぞれの直線の傾きを $\tan \alpha$, $\tan \beta$ とすると、$\tan \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、$\tan \beta = -\sqrt{2}$ である。

$\theta = |\alpha - \beta|$ なので、

$\tan \theta = |\tan (\alpha - \beta)| = \left| \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \right| = \left| \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3} - (-\sqrt{2})}{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3} (-\sqrt{2})} \right| = \left| \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3} + \sqrt{2}}{1 - \frac{4}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{5\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} \right| = |-5\sqrt{2}| = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{9}$

(2)

$\tan \theta = 5\sqrt{2}$