次の関数を微分する問題です。 (1) $ (2x-3)^6 $ (2) $ \left( \frac{x^3}{2x+5} \right)^4 $ (3) $ \sqrt[3]{x^3+4x+1} $ (4) $ \frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}} $ (5) $ \sqrt[4]{x^7} $

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $(2x-3)^6$

(2) $\left( \frac{x^3}{2x+5} \right)^4$

(3) $\sqrt[3]{x^3+4x+1}$

(4) $\frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}}$

(5) $\sqrt[4]{x^7}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分を使います。$y = (2x-3)^6$ とすると、$u = 2x-3$、$y = u^6$ と分解できます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot 2 = 12(2x-3)^5$

(2) 合成関数の微分と商の微分を使います。$y = \left( \frac{x^3}{2x+5} \right)^4$ とすると、$u = \frac{x^3}{2x+5}$、$y = u^4$ と分解できます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot \frac{(x^3)'(2x+5) - x^3(2x+5)'}{(2x+5)^2} = 4 \left( \frac{x^3}{2x+5} \right)^3 \cdot \frac{3x^2(2x+5) - x^3(2)}{(2x+5)^2} = 4 \frac{x^9}{(2x+5)^3} \cdot \frac{6x^3+15x^2-2x^3}{(2x+5)^2} = 4 \frac{x^9}{(2x+5)^3} \cdot \frac{4x^3+15x^2}{(2x+5)^2} = \frac{4x^{11}(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) 合成関数の微分を使います。$y = \sqrt[3]{x^3+4x+1} = (x^3+4x+1)^{\frac{1}{3}}$とすると、$u = x^3+4x+1$、$y = u^{\frac{1}{3}}$ と分解できます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2+4) = \frac{1}{3} (x^3+4x+1)^{-\frac{2}{3}} (3x^2+4) = \frac{3x^2+4}{3(x^3+4x+1)^{\frac{2}{3}}}$

(4) 商の微分と合成関数の微分を使います。$y = \frac{2x+1}{\sqrt{3x+1}} = \frac{2x+1}{(3x+1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)'(3x+1)^{\frac{1}{2}} - (2x+1)((3x+1)^{\frac{1}{2}})'}{(3x+1)} = \frac{2(3x+1)^{\frac{1}{2}} - (2x+1)\frac{1}{2}(3x+1)^{-\frac{1}{2}}(3)}{3x+1} = \frac{2(3x+1)^{\frac{1}{2}} - \frac{3(2x+1)}{2(3x+1)^{\frac{1}{2}}}}{3x+1} = \frac{4(3x+1)-3(2x+1)}{2(3x+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{12x+4-6x-3}{2(3x+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{6x+1}{2(3x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $y = \sqrt[4]{x^7} = x^{\frac{7}{4}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4}-1} = \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $12(2x-3)^5$

(2) $\frac{4x^{11}(4x+15)}{(2x+5)^5}$

(3) $\frac{3x^2+4}{3(x^3+4x+1)^{\frac{2}{3}}}$

(4) $\frac{6x+1}{2(3x+1)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$