媒介変数表示された曲線 $x = e^{-t} \cos{t}$, $y = e^{-t} \sin{t}$ ($0 \le t \le 1$) の長さ $L$ を求めます。 (1) $L$ を求める式を、選択肢の中から選びます。 (2) $L$ の具体的な値を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = e^{-t} \cos{t}$, $y = e^{-t} \sin{t}$ ($0 \le t \le 1$) の長さ $L$ を求めます。

(1) $L$ を求める式を、選択肢の中から選びます。

(2) $L$ の具体的な値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線長を求める公式は、$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$ です。与えられた範囲は $0 \le t \le 1$ なので、$a = 0$, $b = 1$ となります。したがって、正解は選択肢の3です。

(2) まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -e^{-t}\cos{t} - e^{-t}\sin{t} = -e^{-t}(\cos{t} + \sin{t})$

$\frac{dy}{dt} = -e^{-t}\sin{t} + e^{-t}\cos{t} = e^{-t}(\cos{t} - \sin{t})$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 = e^{-2t}(\cos{t} + \sin{t})^2 = e^{-2t}(\cos^2{t} + 2\sin{t}\cos{t} + \sin^2{t}) = e^{-2t}(1 + 2\sin{t}\cos{t})$

$(\frac{dy}{dt})^2 = e^{-2t}(\cos{t} - \sin{t})^2 = e^{-2t}(\cos^2{t} - 2\sin{t}\cos{t} + \sin^2{t}) = e^{-2t}(1 - 2\sin{t}\cos{t})$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = e^{-2t}(1 + 2\sin{t}\cos{t}) + e^{-2t}(1 - 2\sin{t}\cos{t}) = 2e^{-2t}$

したがって、

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{2e^{-2t}} dt = \sqrt{2} \int_{0}^{1} e^{-t} dt = \sqrt{2} [-e^{-t}]_{0}^{1} = \sqrt{2}(-e^{-1} - (-e^0)) = \sqrt{2}(1 - e^{-1}) = \sqrt{2} (1 - \frac{1}{e}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{e}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $L = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{e}$