関数 $h(x) = (x^2+x)e^{2x}$ の $n$ 階導関数 $h^{(n)}(x)$ を求める問題です。具体的には、$h^{(n)}(x) = 2^{n-2} \{[1]x^2+[2](n+[3])x+n(n+[4])\}e^{2x}$ の $[1]$ から $[4]$ に当てはまる数を答えます。

1. 問題の内容

関数 $h(x) = (x^2+x)e^{2x}$ の $n$ 階導関数 $h^{(n)}(x)$ を求める問題です。具体的には、$h^{(n)}(x) = 2^{n-2} \{[1]x^2+[2](n+[3])x+n(n+[4])\}e^{2x}$ の $[1]$ から $[4]$ に当てはまる数を答えます。

2. 解き方の手順

まず、$h(x)$ の1階、2階、3階の導関数を計算し、$h^{(n)}(x)$ の形を推測します。

$h(x) = (x^2+x)e^{2x}$

$h'(x) = (2x+1)e^{2x} + 2(x^2+x)e^{2x} = (2x^2+4x+1)e^{2x}$

$h''(x) = (4x+4)e^{2x} + 2(2x^2+4x+1)e^{2x} = (4x^2+12x+6)e^{2x} = 2(2x^2+6x+3)e^{2x}$

$h'''(x) = (8x+12)e^{2x} + 2(4x^2+12x+6)e^{2x} = (8x^2+40x+36)e^{2x} = 4(2x^2+10x+9)e^{2x}$

$h^{(4)}(x) = (16x+40)e^{2x} + 2(8x^2+40x+36)e^{2x} = (16x^2+112x+112)e^{2x} = 8(2x^2+14x+14)e^{2x}$

与えられた式と比較すると、

$h^{(n)}(x) = 2^{n-2} \{[1]x^2+[2](n+[3])x+n(n+[4])\}e^{2x}$ です。

$n=2$ のとき、$h''(x) = 2^{2-2}\{[1]x^2+[2](2+[3])x+2(2+[4])\}e^{2x} = \{[1]x^2+[2](2+[3])x+2(2+[4])\}e^{2x}$

$h''(x) = (4x^2+12x+6)e^{2x} = 2(2x^2+6x+3)e^{2x}$より、

$[1] = 4$, $[2](2+[3]) = 12$, $2(2+[4]) = 6$ となります。

$[2](2+[3]) = 12$より、$[2](2+[3]) = 4(2+1) = 12$だから $[2] = 4, [3] = 1$

$2(2+[4])=6$より、$2+[4]=3$だから、$[4]=1$

したがって、$h^{(n)}(x) = 2^{n-2} \{4x^2+4(n+1)x+n(n+1)\}e^{2x}$

3. 最終的な答え

[1] = 4

[2] = 4

[3] = 1

[4] = 1