(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。 (2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{3}$ と $y = \sqrt{2}x - 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

(2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{3}$ と $y = \sqrt{2}x - 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin \alpha > 0$。

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{1}{9}$

(2) 2直線のなす角 $\theta$ の $\tan$ を求める。

$y = \frac{2\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{3}$ の傾きは $\sqrt{2}$ なので、$\tan \alpha = \sqrt{2}$

$y = \sqrt{2}x - 4$ の傾きは $\sqrt{2}$ なので、$\tan \beta = \sqrt{2}$

2直線のなす角を$\theta$とすると、$\tan \theta = \left|\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}\right|$が成り立つ。

$y = \frac{2\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{3} = \sqrt{2} x + \sqrt{3}$.

よって、$y = \sqrt{2} x + \sqrt{3}$ と $y = \sqrt{2} x - 4$ は平行なので、なす角は0である。

したがって$\tan \theta = 0$。

これは問題文の条件 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たさないので、傾きが異なる直線の組み合わせを考える。

$y = \sqrt{3}x$ と $y = \sqrt{2}x -4$で考える。

$\tan \alpha = \sqrt{3}, \tan \beta = \sqrt{2}$とする。

$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3} \sqrt{2}} \right| = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{6}}$.

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(1 - \sqrt{6})}{(1 + \sqrt{6})(1 - \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{18} - \sqrt{2} + \sqrt{12}}{1 - 6} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{-5} = \frac{3\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}{-5} = \frac{4\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{5}$

問題文より、$y = \frac{2\sqrt{2}}{2}x + \sqrt{3}$ の傾きは $\sqrt{2}$ である。 $y = \sqrt{2}x - 4$ の傾きも$\sqrt{2}$である。

2直線のなす角$\theta = 0$なので、$\tan \theta = 0$となる。

ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より、条件を満たさない。

問題に間違いがあると思われる。

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}$, $\cos 2\alpha = -\frac{1}{9}$

(2) 0