(1) $\frac{8}{3}\pi$ の正弦(sin), 余弦(cos), 正接(tan) の値を求める問題。 (2) $\sin\theta + \cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta \cos\theta$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $\frac{8}{3}\pi$ の正弦(sin), 余弦(cos), 正接(tan) の値を求める問題。

(2) $\sin\theta + \cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta \cos\theta$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{8}{3}\pi = 2\pi + \frac{2}{3}\pi$ なので、$\frac{2}{3}\pi$ の三角関数を考えれば良い。

$\sin\frac{8}{3}\pi = \sin\frac{2}{3}\pi = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{8}{3}\pi = \cos\frac{2}{3}\pi = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\tan\frac{8}{3}\pi = \tan\frac{2}{3}\pi = \frac{\sin\frac{2}{3}\pi}{\cos\frac{2}{3}\pi} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

(2)

$\sin\theta + \cos\theta = -\frac{1}{2}$ の両辺を2乗する。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (-\frac{1}{2})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

(1)

sin(8π/3) = √3 / 2

cos(8π/3) = -1 / 2

tan(8π/3) = -√3

(2)

sinθcosθ = -3 / 8