(1) 関数 $f(x) = x^{\frac{3}{x}} (x>0)$ の極値を求め、極値が存在する場合は極値をとる $x$ の値を答え、存在しない場合は「なし」と答えます。 (2) 関数 $f(x) = \arctan x (-1<x<1)$ をマクローリン展開して現れる $x^7$ の項を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^{\frac{3}{x}} (x>0)$ の極値を求め、極値が存在する場合は極値をとる $x$ の値を答え、存在しない場合は「なし」と答えます。

(2) 関数 $f(x) = \arctan x (-1<x<1)$ をマクローリン展開して現れる $x^7$ の項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = x^{\frac{3}{x}}$ の極値を求める。

まず、$y = x^{\frac{3}{x}}$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{\frac{3}{x}}) = \frac{3}{x} \ln x = 3 \frac{\ln x}{x}$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = 3 \frac{1 - \ln x}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot 3 \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{3}{x}} \cdot 3 \frac{1 - \ln x}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を探します。$x > 0$ なので、$x^{\frac{3}{x}} > 0$ かつ $\frac{3}{x^2} > 0$ です。したがって、$1 - \ln x = 0$ となる $x$ を見つけます。

$\ln x = 1$

$x = e$

次に、増減表を作成して、極値を判定します。

- $x < e$ のとき、$\ln x < 1$ なので、$\frac{dy}{dx} > 0$ (増加)

- $x > e$ のとき、$\ln x > 1$ なので、$\frac{dy}{dx} < 0$ (減少)

したがって、$x = e$ で極大値をとり、その値は、

$f(e) = e^{\frac{3}{e}}$

(2) 関数 $f(x) = \arctan x$ のマクローリン展開を求める。

$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ です。

$\frac{1}{1+x^2}$ のマクローリン展開は、$1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$ となります。

$\arctan x$ は $\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分なので、

$\arctan x = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots) dx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

$x^7$ の項は $-\frac{x^7}{7}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x=e$ で極大値 $e^{\frac{3}{e}}$

(2) $-\frac{x^7}{7}$