関数 $f(x) = -x^3 + 12x - 7$ の $-3 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値を求め、それぞれを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 12x - 7$ の $-3 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値を求め、それぞれを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 12$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

次に、$f(x)$ の増減表を作ります。$x=-3, -2, 2, 5$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = -(-3)^3 + 12(-3) - 7 = 27 - 36 - 7 = -16$

$f(-2) = -(-2)^3 + 12(-2) - 7 = 8 - 24 - 7 = -23$

$f(2) = -(2)^3 + 12(2) - 7 = -8 + 24 - 7 = 9$

$f(5) = -(5)^3 + 12(5) - 7 = -125 + 60 - 7 = -72$

$f'(x)$ の符号を調べます。

- $x < -2$ のとき, $f'(x) < 0$

- $-2 < x < 2$ のとき, $f'(x) > 0$

- $x > 2$ のとき, $f'(x) < 0$

したがって、$x=-2$ で極小値、 $x=2$ で極大値をとります。

区間の端点 $-3$ と $5$ および極値をとる点 $-2$ と $2$ での $f(x)$ の値を比較します。

$f(-3) = -16$

$f(-2) = -23$

$f(2) = 9$

$f(5) = -72$

最大値は $f(2) = 9$、最小値は $f(5) = -72$ です。

3. 最終的な答え

$x = 2$ のとき、最大値 $9$

$x = 5$ のとき、最小値 $-72$