関数 $y = \frac{x^3+4}{x^2}$ の定義域、増減、極値、グラフの凹凸、漸近線を調べ、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3+4}{x^2}$ の定義域、増減、極値、グラフの凹凸、漸近線を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域:

分母が $x^2$ であるため、$x=0$ を除いたすべての実数が定義域となる。

つまり、定義域は $x \neq 0$

(2) 導関数 $y'$ を求める:

$y = \frac{x^3+4}{x^2} = x + \frac{4}{x^2} = x + 4x^{-2}$

$y' = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3} = \frac{x^3-8}{x^3}$

(3) $y' = 0$ となる $x$ を求める:

$\frac{x^3-8}{x^3} = 0$ より、 $x^3 - 8 = 0$ 。

$x^3 = 8$ より、$x = 2$。

$x=0$ は定義域に含まれない。

(4) 第二次導関数 $y''$ を求める:

$y' = 1 - 8x^{-3}$

$y'' = 24x^{-4} = \frac{24}{x^4}$

(5) 増減表を作成する:

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :--- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| y' | - | 不存在 | - | 0 | + |

| y'' | + | 不存在 | + | + | + |

| y | ↘︎ | 不存在 | ↘︎ | 3 | ↗︎ |

$x=2$ のとき、$y = \frac{2^3+4}{2^2} = \frac{8+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

したがって、$(2, 3)$ は極小値を与える。

$y''$ は常に正なので、グラフは常に下に凸である。

(6) 漸近線を求める:

垂直漸近線：$x \to 0$ のとき、$y \to \infty$ となるので、$x=0$ が垂直漸近線。

斜め漸近線：$y = x + \frac{4}{x^2}$ なので、$x \to \pm \infty$ のとき、$\frac{4}{x^2} \to 0$ となる。

したがって、$y = x$ が斜め漸近線。

(7) グラフの概形:

$x=0$ で垂直漸近線、$y=x$ で斜め漸近線、$(2,3)$ で極小値をとる。

3. 最終的な答え

定義域: $x \neq 0$

極小値: $(2, 3)$

垂直漸近線: $x = 0$

斜め漸近線: $y = x$

グラフの凹凸: 常に下に凸

増減: $x<0$, $0<x<2$ で減少, $x>2$ で増加