与えられた三角関数に関する等式または不等式を満たす $\theta$ の値を指定された範囲内で求める問題です。 (1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ (2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ (3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$, $0 \leq \theta < 2\pi$ (4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $-\pi \leq \theta \leq \pi$

1. 問題の内容

与えられた三角関数に関する等式または不等式を満たす $\theta$ の値を指定された範囲内で求める問題です。

(1) $2\sin{2\theta} = \sqrt{3}$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$

(2) $6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$

(3) $\tan{\theta} > -\sqrt{3}$, $0 \leq \theta < 2\pi$

(4) $-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $-\pi \leq \theta \leq \pi$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin{2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を解きます。$0 \leq \theta \leq 2\pi$ より、$0 \leq 2\theta \leq 4\pi$ です。

$\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の値は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$ です。

したがって、$2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$ となります。

(2)

$6\sqrt{2}\cos{\theta} - 3\sqrt{6} < 0$ より、$\cos{\theta} < \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で、$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6}$ です。

$\cos{\theta} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる範囲は、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$ です。

(3)

$\tan{\theta} > -\sqrt{3}$ を解きます。$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\tan{\theta} = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ は $\frac{2\pi}{3}$ と $\frac{5\pi}{3}$ です。

$\tan{\theta} > -\sqrt{3}$ となる範囲は、$\tan{\theta}$ の定義域を考慮すると、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ となります。

(4)

$-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ を解きます。$-\pi \leq \theta \leq \pi$ の範囲で、$\tan{\theta} = -1$ となる $\theta$ は $-\frac{\pi}{4}$ であり、$\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{6}$ です。

$-1 < \tan{\theta} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる範囲は、$\tan{\theta}$ の定義域を考慮すると、$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(3) $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

(4) $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{6}$