与えられた数学の問題は、複数の小問から構成されています。微分、関数の連続性、グラフの概形、方程式の実数解の個数、不等式の証明など、幅広い分野をカバーしています。具体的には、以下の内容が含まれます。 (1) いくつかの関数について微分を計算する。 (2) 与えられた条件を満たす関数に含まれる定数を求める。 (3) 陰関数の微分を求める。 (4) 媒介変数表示された関数の導関数を求める。 (5) 曲線に接し、原点を通る直線の方程式を求める。 (6) 関数がx=1で微分可能となるようなaの値を求める。 (7) 関数の定義域、増減、極値、グラフの凹凸、漸近線を調べ、グラフの概形を描く。 (8) 方程式の実数解の個数を求める。 (9) 不等式を証明する。 (10) 不等式を証明し、確率に関する不等式を証明する。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、複数の小問から構成されています。微分、関数の連続性、グラフの概形、方程式の実数解の個数、不等式の証明など、幅広い分野をカバーしています。具体的には、以下の内容が含まれます。

(1) いくつかの関数について微分を計算する。

(2) 与えられた条件を満たす関数に含まれる定数を求める。

(3) 陰関数の微分を求める。

(4) 媒介変数表示された関数の導関数を求める。

(5) 曲線に接し、原点を通る直線の方程式を求める。

(6) 関数がx=1で微分可能となるようなaの値を求める。

(7) 関数の定義域、増減、極値、グラフの凹凸、漸近線を調べ、グラフの概形を描く。

(8) 方程式の実数解の個数を求める。

(9) 不等式を証明する。

(10) 不等式を証明し、確率に関する不等式を証明する。

2. 解き方の手順

提示された問題は多岐にわたるので、ここではいくつかの問題例について解き方の手順を示します。

(1) 微分：

* ア. $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ の場合、商の微分法または合成関数の微分法を利用します。$y = (x^2 - 1)^{-1}$と変形し、微分すると $y' = -1(x^2 - 1)^{-2} \cdot 2x = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$ となります。

* イ. $y = \frac{1}{1 + \cos x}$ の場合も同様に、$y = (1 + \cos x)^{-1}$と変形して微分します。

* 他の関数も、積の微分法、合成関数の微分法、対数微分法などを適切に利用して計算します。

(2) 定数の決定：

* $f(x) = a \cos x + bx + c$ について、$f(0) = 15$, $f'(0) = 7$, $f''(0) = -8$ という条件から、$a, b, c$ に関する連立方程式を立てて解きます。

* $f(0) = a \cos 0 + b(0) + c = a + c = 15$

* $f'(x) = -a \sin x + b$ なので、$f'(0) = -a \sin 0 + b = b = 7$

* $f''(x) = -a \cos x$ なので、$f''(0) = -a \cos 0 = -a = -8$ つまり $a = 8$

* $a = 8, b = 7$ を $a + c = 15$ に代入して、$8 + c = 15$ より $c = 7$

(3) 陰関数の微分：

* $x \tan y = 1$ の両辺を $x$ で微分します。積の微分法を使うと $\tan y + x \cdot \frac{1}{\cos^2 y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ となります。これを $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

* $\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan y \cos^2 y}{x}$。条件より $x = \frac{1}{\tan y}$ なので、$\frac{dy}{dx} = -\tan^2 y \cos^2 y = -\sin^2 y$。

(4) 媒介変数表示：

* $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を利用します。$x = \cos t + t \sin t$, $y = \sin t - t \cos t$ をそれぞれ $t$ で微分します。

* $\frac{dx}{dt} = -\sin t + \sin t + t \cos t = t \cos t$

* $\frac{dy}{dt} = \cos t - \cos t + t \sin t = t \sin t$

* したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{t \sin t}{t \cos t} = \tan t$

* $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt}(\tan t) \cdot \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{\cos^2 t} \cdot \frac{1}{t \cos t} = \frac{1}{t \cos^3 t}$

(5) 接線の方程式：

* $y = \frac{\log x}{x}$ の導関数を求め、接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きが求まります。その傾きを使って接線の方程式を立て、それが原点を通るという条件から $t$ を決定します。

* $y' = \frac{(1/x)x - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$。接点を $(t, \frac{\log t}{t})$ とすると、接線は $y - \frac{\log t}{t} = \frac{1 - \log t}{t^2}(x - t)$ と表せる。これが原点を通るので、$-\frac{\log t}{t} = \frac{1 - \log t}{t^2}(-t)$。整理すると $-\frac{\log t}{t} = -\frac{1 - \log t}{t}$。ゆえに $\log t = 1 - \log t$ なので、 $2\log t = 1$。$\log t = \frac{1}{2}$ なので、$t = e^{1/2} = \sqrt{e}$。接点は$(\sqrt{e}, \frac{1}{2\sqrt{e}})$。接線の傾きは$\frac{1 - 1/2}{e} = \frac{1}{2e}$。原点を通る接線の方程式は $y = \frac{1}{2e}x$。

(6) 微分可能性：

* $f(x)$が$x=1$で微分可能であるためには、$x=1$で連続であり、かつ左右からの微分係数が一致する必要があります。

(7) グラフの概形：

* 関数 $y = \frac{x^2 + 4}{x^2}$ について、定義域は $x \neq 0$。

* 増減を調べるために微分: $y' = \frac{-8}{x^3}$。$x > 0$ で $y' < 0$ なので単調減少、$x < 0$ で $y' > 0$ なので単調増加。

* 極値はなし。

* 凹凸を調べるために二階微分: $y'' = \frac{24}{x^4}$。常に $y'' > 0$ なので、下に凸。

* 漸近線: $x \to \pm \infty$ で $y \to 1$ なので、$y = 1$ は水平漸近線。$x = 0$ は定義域に含まれない。

(8) 実数解の個数：

* $x^2 - 3 = ae^x$ の実数解の個数を求めるために、グラフ $y = x^2 - 3$ と $y = ae^x$ の交点の個数を調べます。$a$ の値によって交点の個数が変化します。

(9) 不等式の証明：

* 対数関数の性質を利用して不等式を証明します。平均値の定理などを用いることも考えられます。

(10) 確率の証明：

* 不等式 $1-x \le e^{-x}$ を利用し、確率が $\frac{1}{e}$ より小さいことを数学的帰納法などで証明します。

3. 最終的な答え

上記の手順に従って計算することで、各問題の最終的な答えが得られます。上記の手順を踏まえ、各関数や条件に合わせて計算を行ってください。

具体的な数値や式を最終的な答えとして記述する必要があります。上記の例では、以下が答えとなります。

* (1)ア. $y' = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$

* (2) $a=8$, $b=7$, $c=7$

* (3) $\frac{dy}{dx} = -\sin^2 y$

* (4) $\frac{dy}{dx} = \tan t$, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{t \cos^3 t}$

* (5) $y = \frac{1}{2e}x$