曲線 $y^2 = x^2(1-x^2)$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) この曲線が、$x$軸および$y$軸に関して対称であることを示します。 (2) この曲線によって囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y^2 = x^2(1-x^2)$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) この曲線が、$x$軸および$y$軸に関して対称であることを示します。

(2) この曲線によって囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 対称性について

$x$軸に関する対称性:

$y^2 = x^2(1-x^2)$において、$y$を$-y$に置き換えても式は変わらないことを示します。$(-y)^2 = y^2$であるため、$y^2 = x^2(1-x^2)$は$x$軸に関して対称です。

$y$軸に関する対称性:

$y^2 = x^2(1-x^2)$において、$x$を$-x$に置き換えても式は変わらないことを示します。$(-x)^2 = x^2$であるため、$y^2 = x^2(1-(-x)^2) = x^2(1-x^2)$は$y$軸に関して対称です。

(2) 面積の計算

曲線は$y = \pm x\sqrt{1-x^2}$と表せます。求める面積は、第1象限にある曲線 $y = x\sqrt{1-x^2}$ で囲まれた部分の4倍です。

したがって、求める面積$S$は、

$S = 4\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} \, dx$

ここで、$t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x \, dx$ となります。

また、$x=0$のとき$t=1$, $x=1$のとき$t=0$です。

したがって、

$S = 4 \int_1^0 \sqrt{t} \left(-\frac{1}{2}\right) \, dt = 2 \int_0^1 t^{\frac{1}{2}} \, dt = 2\left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = 2\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) この曲線は、$x$軸および$y$軸に関して対称である。

(2) この曲線によって囲まれた図形の面積は、$\frac{4}{3}$ である。