微分方程式 $y' = (\frac{y}{x})^2$ を、与えられた初期条件 $y(1) = \frac{1}{2}$ のもとで解く問題です。ただし、$u = \frac{y}{x}$ という変数変換を利用します。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = (\frac{y}{x})^2$ を、与えられた初期条件 $y(1) = \frac{1}{2}$ のもとで解く問題です。ただし、$u = \frac{y}{x}$ という変数変換を利用します。

2. 解き方の手順

(1) 変数変換 $u = \frac{y}{x}$ を用いると、$y = ux$ となります。これを$x$で微分すると、

$y' = u + x \frac{du}{dx}$

が得られます。

(2) 与えられた微分方程式 $y' = (\frac{y}{x})^2$ に、$u = \frac{y}{x}$ を代入すると、

$y' = u^2$

となります。

(3) (1) と (2) より、

$u + x \frac{du}{dx} = u^2$

$x \frac{du}{dx} = u^2 - u$

$\frac{du}{u^2 - u} = \frac{dx}{x}$

(4) 左辺を部分分数分解します。

$\frac{1}{u^2 - u} = \frac{1}{u(u-1)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u-1}$

$1 = A(u-1) + Bu$

$u = 0$ のとき、$1 = -A$ より $A = -1$

$u = 1$ のとき、$1 = B$ より $B = 1$

したがって、

$\frac{1}{u^2 - u} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}$

よって、

$(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}) du = \frac{dx}{x}$

(5) 両辺を積分します。

$\int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}) du = \int \frac{dx}{x}$

$\ln |u-1| - \ln |u| = \ln |x| + C$

$\ln |\frac{u-1}{u}| = \ln |x| + C$

$\frac{u-1}{u} = Ax$ （ここで、$A = \pm e^C$）

$1 - \frac{1}{u} = Ax$

$\frac{1}{u} = 1 - Ax$

$u = \frac{1}{1 - Ax}$

(6) $u = \frac{y}{x}$ を代入します。

$\frac{y}{x} = \frac{1}{1 - Ax}$

$y = \frac{x}{1 - Ax}$

(7) 初期条件 $y(1) = \frac{1}{2}$ を代入します。

$\frac{1}{2} = \frac{1}{1 - A}$

$1 - A = 2$

$A = -1$

(8) したがって、特殊解は、

$y = \frac{x}{1 + x}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{x}{1 + x}$