$0 < m < 2$ とする。放物線 $y = x(2-x)$ と直線 $y=mx$ で囲まれた図形の面積が、この放物線と $x$ 軸で囲まれた図形の面積の $\frac{1}{8}$ であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < m < 2$ とする。放物線 $y = x(2-x)$ と直線 $y=mx$ で囲まれた図形の面積が、この放物線と $x$ 軸で囲まれた図形の面積の $\frac{1}{8}$ であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を計算する。

$y = x(2-x) = 2x - x^2$ であり、$x$ 軸との交点は $x=0$ と $x=2$ である。したがって、面積 $S_1$ は

$S_1 = \int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

次に、放物線 $y = x(2-x)$ と直線 $y=mx$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x(2-x) = mx$ より、 $2x - x^2 = mx$。

$x^2 + (m-2)x = 0$

$x(x + m - 2) = 0$

$x=0$ または $x = 2-m$

したがって、交点の $x$ 座標は $0$ と $2-m$ である。

放物線 $y = x(2-x)$ と直線 $y=mx$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ は

$S_2 = \int_0^{2-m} (x(2-x) - mx) dx = \int_0^{2-m} (2x - x^2 - mx) dx = \int_0^{2-m} ((2-m)x - x^2) dx$

$S_2 = [\frac{(2-m)x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^{2-m} = \frac{(2-m)^3}{2} - \frac{(2-m)^3}{3} = \frac{(2-m)^3}{6}$

問題文より、$S_2 = \frac{1}{8} S_1$ なので、

$\frac{(2-m)^3}{6} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{6}$

$(2-m)^3 = 1$

$2-m = 1$

$m = 1$

3. 最終的な答え

$m = 1$