$t$ は0以下の実数とし、$S(t) = \int_{-1}^{0} x|x-t| dx$ とする。 $-1 \le t \le 0$ のとき、$S(t) = \frac{1}{\boxed{1}} t^3 - \frac{1}{\boxed{2}} t - \frac{1}{\boxed{3}}$ $t \le -1$ のとき、$S(t) = \frac{1}{\boxed{4}} t + \frac{1}{\boxed{5}}$ の空欄を埋める。

1. 問題の内容

$t$ は0以下の実数とし、$S(t) = \int_{-1}^{0} x|x-t| dx$ とする。

$-1 \le t \le 0$ のとき、$S(t) = \frac{1}{\boxed{1}} t^3 - \frac{1}{\boxed{2}} t - \frac{1}{\boxed{3}}$

$t \le -1$ のとき、$S(t) = \frac{1}{\boxed{4}} t + \frac{1}{\boxed{5}}$

の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1) $-1 \le t \le 0$ の場合

$x$ の積分範囲は $-1 \le x \le 0$ である。

この範囲で、$x < 0$ なので、$|x-t|$ の符号は、$x-t$ の符号によって変わる。

$x-t = 0$ となるのは $x=t$ のときなので、積分範囲を $-1 \le x \le t$ と $t \le x \le 0$ に分ける。

$-1 \le x \le t$ のとき、$x \le t$ なので、$x-t \le 0$ より $|x-t| = -(x-t) = t-x$ である。

$t \le x \le 0$ のとき、$x \ge t$ なので、$x-t \ge 0$ より $|x-t| = x-t$ である。

したがって、

$S(t) = \int_{-1}^{t} x(t-x) dx + \int_{t}^{0} x(x-t) dx$

$= \int_{-1}^{t} (tx - x^2) dx + \int_{t}^{0} (x^2 - tx) dx$

$= [\frac{1}{2}tx^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^{t} + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}tx^2]_{t}^{0}$

$= (\frac{1}{2}t^3 - \frac{1}{3}t^3) - (\frac{1}{2}t - \frac{1}{3}(-1))$

$+ (0 - (\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^3))$

$= \frac{1}{6}t^3 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{3} - (-\frac{1}{6}t^3) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{3}$

(2) $t \le -1$ の場合

$-1 \le x \le 0$ のとき、$t \le -1$ なので、$x > t$ である。したがって、$x-t > 0$ より、$|x-t| = x-t$ となる。

$S(t) = \int_{-1}^{0} x(x-t) dx = \int_{-1}^{0} (x^2 - tx) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}tx^2]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}t(-1)^2)$

$= 0 - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}t) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}t = \frac{1}{2}t + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-1 \le t \le 0$ のとき、$S(t) = \frac{1}{3} t^3 - \frac{1}{2} t - \frac{1}{3}$

$t \le -1$ のとき、$S(t) = \frac{1}{2} t + \frac{1}{3}$

1: 3

2: 2

3: 3

4: 2

5: 3