与えられた関数を微分する問題です。公式3.3を用いると指示されていますが、具体的な公式3.3の内容はここでは与えられていません。しかし、問題の形式から、おそらく商の微分公式、あるいはそれに準ずる公式を用いることを想定していると思われます。 関数は以下の4つです。 (1) $y = \frac{2}{x^2 - 1}$ (2) $y = \frac{5x}{2x - 3}$ (3) $y = \frac{2x + 1}{3x + 1}$ (4) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。公式3.3を用いると指示されていますが、具体的な公式3.3の内容はここでは与えられていません。しかし、問題の形式から、おそらく商の微分公式、あるいはそれに準ずる公式を用いることを想定していると思われます。

関数は以下の4つです。

(1) $y = \frac{2}{x^2 - 1}$

(2) $y = \frac{5x}{2x - 3}$

(3) $y = \frac{2x + 1}{3x + 1}$

(4) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。商の微分公式は以下の通りです。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u'$は$u$の$x$に関する微分、$v'$は$v$の$x$に関する微分を表します。

(1) $y = \frac{2}{x^2 - 1}$

$u = 2$, $v = x^2 - 1$

$u' = 0$, $v' = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{0 \cdot (x^2 - 1) - 2 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

(2) $y = \frac{5x}{2x - 3}$

$u = 5x$, $v = 2x - 3$

$u' = 5$, $v' = 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{5 \cdot (2x - 3) - 5x \cdot 2}{(2x - 3)^2} = \frac{10x - 15 - 10x}{(2x - 3)^2} = \frac{-15}{(2x - 3)^2}$

(3) $y = \frac{2x + 1}{3x + 1}$

$u = 2x + 1$, $v = 3x + 1$

$u' = 2$, $v' = 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cdot (3x + 1) - (2x + 1) \cdot 3}{(3x + 1)^2} = \frac{6x + 2 - 6x - 3}{(3x + 1)^2} = \frac{-1}{(3x + 1)^2}$

(4) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$

$u = x - 1$, $v = x^2 + 1$

$u' = 1$, $v' = 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - (x - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-15}{(2x - 3)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(3x + 1)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$