与えられた3つの関数について、マクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{1}{x^2-3x+2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$ (3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、マクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2-3x+2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$

(3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2-3x+2}$

まず、分母を因数分解します。

$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x-1)(x-2)$ を掛けると、

$1 = A(x-2) + B(x-1)$

$x=1$ のとき、 $1 = A(1-2) \Rightarrow A = -1$

$x=2$ のとき、 $1 = B(2-1) \Rightarrow B = 1$

よって、

$f(x) = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2(1-\frac{x}{2})}$

$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ です。

$\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n}$ です。

したがって、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (1-\frac{1}{2^{n+1}}) x^n$

(2) $f(x) = \frac{x}{(x+2)^2}$

$f(x) = \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{(x+2)-2}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} - \frac{2}{(x+2)^2}$

$\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2(1+\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \frac{1}{1+\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{2})^n = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}}$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x+2} \right) = \frac{-1}{(x+2)^2}$

よって、 $\frac{1}{(x+2)^2} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x+2} \right) = -\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} \right) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^{n-1}}{2^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n x^{n-1}}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1) x^{n}}{2^{n+2}}$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} - 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1) x^{n}}{2^{n+2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} (n+1) x^{n}}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(1-(n+1))}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(-n)}{2^{n+1}} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n x^n}{2^{n+1}}$

(3) $f(x) = \log \frac{1-x}{1+x}$

$f(x) = \log(1-x) - \log(1+x)$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$

$\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$f(x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+(-1)^{n-1}) x^n}{n}$

$n$ が偶数のとき、 $1+(-1)^{n-1} = 1-1 = 0$

$n$ が奇数のとき、 $1+(-1)^{n-1} = 1+1 = 2$

よって、$f(x) = - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2 x^{2k+1}}{2k+1} = -2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} (1-\frac{1}{2^{n+1}}) x^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n x^n}{2^{n+1}}$

(3) $-2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$