与えられた関数 $y = \cos^{-1}(2x)$ の微分を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^{-1}(2x)$ の微分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、逆三角関数の微分公式を思い出す。

$\frac{d}{dx}(\cos^{-1}u) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$

ここで、$u = 2x$である。

$y = \cos^{-1}(2x)$を$x$で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(2x))$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x)$

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$なので、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$