与えられた関数 $f(x) = \log(1+x)$ について、以下の2つの問題を解きます。 (1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開を求めます。 (2) マクローリン展開を用いて $\log 1.1$ の近似値を計算し、小数第5位を四捨五入して小数第4位までの値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \log(1+x)$ について、以下の2つの問題を解きます。

(1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開を求めます。

(2) マクローリン展開を用いて $\log 1.1$ の近似値を計算し、小数第5位を四捨五入して小数第4位までの値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3次のマクローリン展開を求める。

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したものであり、次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

次に、これらの導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

これらの値をマクローリン展開の式に代入して3次の項まで求めます。

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3$

$f(x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

(2) $\log 1.1$ の近似値を求める。

$\log 1.1$ は $\log(1+0.1)$ なので、$x=0.1$ をマクローリン展開に代入します。

$\log 1.1 \approx 0.1 - \frac{(0.1)^2}{2} + \frac{(0.1)^3}{3}$

$\log 1.1 \approx 0.1 - \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{3}$

$\log 1.1 \approx 0.1 - 0.005 + 0.0003333\dots$

$\log 1.1 \approx 0.0953333\dots$

小数第5位を四捨五入すると $0.0953$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の3次のマクローリン展開は $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ です。

(2) $\log 1.1$ の近似値は $0.0953$ です。