ベータ関数 $B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ の値を計算します。

1. 問題の内容

ベータ関数 $B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

ベータ関数はガンマ関数を使って次のように定義できます。

$B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

したがって、

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(1)}$

ガンマ関数の性質として、$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ と $\Gamma(1) = 1$ が知られています。

これらを代入すると、

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{1} = \frac{\pi}{1} = \pi$

3. 最終的な答え

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$