関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in \mathbb{Q}) \\ x & (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$ このとき、$f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示し、$x \neq 0$ で連続でないことを示してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x \in \mathbb{Q}) \\ x & (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

このとき、$f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示し、$x \neq 0$ で連続でないことを示してください。

2. 解き方の手順

(1) $x=0$ での連続性を示す。

任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$|x-0| < \delta$ ならば $|f(x) - f(0)| < \epsilon$ となることを示せば良い。

$f(0) = 0$ である。

$|f(x) - f(0)| = |f(x)|$ であるから、$|f(x)| < \epsilon$ を示せば良い。

$x \in \mathbb{Q}$ のとき、$f(x) = 0$ より $|f(x)| = 0 < \epsilon$ が成り立つ。

$x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ のとき、$f(x) = x$ より $|f(x)| = |x|$ である。

したがって、$|x| < \delta$ ならば $|f(x)| < \epsilon$ となる $\delta$ を見つければよい。

$\delta = \epsilon$ とすれば、$|x| < \delta$ ならば、$|f(x)| = |x| < \epsilon$ が成り立つ。

よって、$x=0$ で連続である。

(2) $x \neq 0$ での非連続性を示す。

$x_0 \neq 0$ とする。$x_0$ が有理数の場合と無理数の場合に分けて考える。

(i) $x_0 \in \mathbb{Q}$ のとき、$f(x_0) = 0$ である。

任意の $\delta > 0$ に対して、区間 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ には無理数が存在する。

そのような無理数 $x$ を選ぶと、$|x - x_0| < \delta$ である。

このとき、$|f(x) - f(x_0)| = |x - 0| = |x|$ である。

$x_0 \neq 0$ であるので、$x$ を $x_0$ に近づけていくと、$|x|$ は $|x_0|$ に近づいていく。

$|x_0| > 0$ より、$\epsilon = |x_0|/2$ とすれば、$|f(x) - f(x_0)| > \epsilon$ となる $x$ が存在する。

したがって、$x_0$ で連続ではない。

(ii) $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ のとき、$f(x_0) = x_0$ である。

任意の $\delta > 0$ に対して、区間 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ には有理数が存在する。

そのような有理数 $x$ を選ぶと、$|x - x_0| < \delta$ である。

このとき、$|f(x) - f(x_0)| = |0 - x_0| = |x_0|$ である。

$x_0 \neq 0$ であるので、$|x_0| > 0$ である。$\epsilon = |x_0|/2$ とすれば、$|f(x) - f(x_0)| > \epsilon$ となる $x$ が存在する。

したがって、$x_0$ で連続ではない。

よって、$x \neq 0$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

$x=0$ で連続であり、$x \neq 0$ で連続ではない。