$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}$ の極限値を求めます。

## 問題13

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ を用いて式を書き換えます。

$1 - \cos(2x) = 1 - (1 - 2\sin^2(x)) = 2\sin^2(x)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ であることを利用すると、

$2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$

3. 最終的な答え

2

## 問題14

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(x)}{(1 - \cos(x))^2}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$ を利用して式を書き換えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(x)}{(1 - \cos(x))^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{(1 - \cos(x))^2}$

次に、$\sin^2(x) = (1-\cos^2(x)) = (1-\cos(x))(1+\cos(x))$ を利用して、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))}{(1 - \cos(x))^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)}$

ここで、分子と分母に $1 + \cos(x)$ をかけると、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \cos(x))(1 + \cos(x))}{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \cos(x))^2}{1 - \cos^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \cos(x))^2}{\sin^2(x)}$

これは元の式に戻ってしまったので、別の方法を試します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)}$ の式に戻り、ここでロピタルの定理を適用することを考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} -1 = -1$

ただし、ロピタルの定理は、$x \to 0$において、分子と分母がともに0に収束する場合に使えます。

この場合、$\lim_{x \to 0} 1 + \cos(x) = 2$ であり、$\lim_{x \to 0} 1 - \cos(x) = 0$となるので、ロピタルの定理は使えません。

別の方法として、分母と分子を$x^2$で割ることを考えます。

$\frac{1-\cos^2 x}{(1 - \cos x)^2} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{(1-\cos x)^2} = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}$

ここで、$\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$ as $x \to 0$ を利用すると、

$1-\cos x \approx \frac{x^2}{2}$ となり、

$\frac{1+\cos x}{1 - \cos x} \approx \frac{2}{x^2/2} = \frac{4}{x^2}$

これは極限が存在しません。

もう一度整理します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{(1 - \cos(x))^2}$

$\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1 - \cos x} \frac{1+\cos x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x (1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x (1 + \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \infty$

したがって、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。