実数 $a$ の範囲が $1/2 < a < 3$ のとき、3次関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(2a^2 - 1)x + 2$ は極大値と極小値を持つ。$f(x)$ の極大値と極小値の和を $a$ の式で表して $g(a)$ とすると、$g(a)$ の式を求め、$a = 7/8$ のとき、$g(a)$ が最小値をとるときの値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ の範囲が $1/2 < a < 3$ のとき、3次関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(2a^2 - 1)x + 2$ は極大値と極小値を持つ。$f(x)$ の極大値と極小値の和を $a$ の式で表して $g(a)$ とすると、$g(a)$ の式を求め、$a = 7/8$ のとき、$g(a)$ が最小値をとるときの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(2a^2 - 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6ax + 3(2a^2 - 1) = 0$

$x^2 - 2ax + 2a^2 - 1 = 0$

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4(2a^2 - 1)}}{2}$

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 8a^2 + 4}}{2}$

$x = \frac{2a \pm \sqrt{4 - 4a^2}}{2}$

$x = \frac{2a \pm 2\sqrt{1 - a^2}}{2}$

$x = a \pm \sqrt{1 - a^2}$

極大値と極小値を持つためには、$1 - a^2 > 0$ である必要があるので、$a^2 < 1$ となり、$-1 < a < 1$ となる。しかし、$1/2 < a < 3$ なので、$1/2 < a < 1$ となる。

$f(x)$ の極大値と極小値の和 $g(a)$ を求める。

$g(a)$ は、$f'(x)=0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、$f(\alpha) + f(\beta)$ となる。

$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(2a^2 - 1)x + 2$

$g(a) = f(a + \sqrt{1 - a^2}) + f(a - \sqrt{1 - a^2})$

$g(a) = 2a^3 - 6a + 4$

しかし、$f'(x)=0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha+\beta=2a$。

$f(x)$ を微分して $f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(2a^2-1)$.

さらに微分して $f''(x) = 6x - 6a$.

極大となるとき $f''(\alpha) < 0$ なので $6\alpha - 6a < 0$ より $\alpha < a$.

極小となるとき $f''(\beta) > 0$ なので $6\beta - 6a > 0$ より $\beta > a$.

極大値と極小値の和 $g(a) = f(\alpha)+f(\beta)$ を求める。

$\alpha, \beta$ は $x^2-2ax+2a^2-1 = 0$ の解なので、

$f(x) = x(x^2-2ax+2a^2-1) - ax^2+ (4a^2-2)x+2 = x(0)-a(x^2-2ax+2a^2-1)+2a^3x+2$

$f(x) = -a(0)+2a^3 x+2$。

$g(a) = f(\alpha)+f(\beta) = 2(2a^3(\frac{\alpha+\beta}{2})+2) = 4a^3-6a+4$

$g(a) = 4a^3 - 6a + 4$ を $a$ で微分して、$g'(a) = 12a^2 - 6$

$g'(a) = 0$ となる $a$ を求める。

$12a^2 - 6 = 0$

$a^2 = \frac{1}{2}$

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$1/2 < a < 1$ より、$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ は範囲に含まれる。

$g(1/2) = 4(\frac{1}{8}) - 6(\frac{1}{2}) + 4 = \frac{1}{2} - 3 + 4 = \frac{3}{2}$

$g(1) = 4 - 6 + 4 = 2$

$g(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4(\frac{2\sqrt{2}}{8}) - 6(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 4 = \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2(1.414) = 4 - 2.828 = 1.172$

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき最小値を取る。

$g(\sqrt{2}/2) = 4 - 2\sqrt{2}$

$g(a) = 4a^3 - 6a + 4$. すると，$g'(a)=12a^2-6$ となる．$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$で$g'(a)=0$.

$g(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4(\frac{2\sqrt{2}}{8}) -6(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 4 = \sqrt{2}-3\sqrt{2}+4 = 4-2\sqrt{2}=4-2*0.707..$

$4-2*0.7=4-1.4=.6$

問題文より，$a=7/8$ のときの最小値を求めるとのこと。$g(\frac{7}{8})=4(\frac{7}{8})^3 - 6(\frac{7}{8}) + 4 = 4(\frac{343}{512}) - \frac{42}{8} + 4 = \frac{343}{128} - \frac{672}{128} + \frac{512}{128} = \frac{183}{128} = 1.429... \approx 1.4$

$1/2< a < 3$のときの条件より，$g(a)$が最小になるのは， $g'(a)=0$, $a=\sqrt{2}/2$のとき．このとき， $g(\sqrt{2}/2)=4-2\sqrt{2}$．ここで，$\sqrt{2}=1.414...$なので， $g(\sqrt{2}/2)=4-2\sqrt{2}=4-2.828=1.172$

しかし，$a=7/8=0.875>\sqrt{2}/2$.

$a=7/8$の場合， $g(a)=183/128$.

$g(a) = 4a^3 - 6a + 4$ で，$a=7/8$のとき，$g(a) = \frac{183}{128}$。

このとき最小値$183/128$を取る．

3. 最終的な答え

実数 $a$ の範囲は $1/2 < a < 1$。

$g(a) = 4a^3 - 6a + 4$

$a = 7/8$ のとき、$g(7/8) = \frac{183}{128}$。

1: 1/2

3: 3

4: 4

5: 6

6: 4

7: 7

8: 8

9: 183/128