画像には、極限の公式 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ と $\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ が示されています。これらの公式を用いて、$(e^x)'$ と $(\log x)'$ を求めることができる、と示唆されています。質問は、これらの公式を用いて $(e^x)'$ と $(\log x)'$ を求める方法を説明することだと解釈できます。

1. 問題の内容

画像には、極限の公式 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ と $\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ が示されています。これらの公式を用いて、$(e^x)'$ と $(\log x)'$ を求めることができる、と示唆されています。質問は、これらの公式を用いて $(e^x)'$ と $(\log x)'$ を求める方法を説明することだと解釈できます。

2. 解き方の手順

(1) $(e^x)'$ の導出:

導関数の定義から、

$$(e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

$e^x$ をくくり出すと、

$$(e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$$

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$を用いると、

$$(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$$

(2) $(\log x)'$ の導出 (底が $e$ の場合、つまり $\log x = \ln x$):

$y = \ln x$とおくと、$x = e^y$となります。

両辺を$x$で微分すると、

$$1 = \frac{d}{dx}(e^y) = e^y \frac{dy}{dx}$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

よって、

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$

3. 最終的な答え

$(e^x)' = e^x$

$(\log x)' = \frac{1}{x}$ (ここで、$\log x$ は自然対数 $\ln x$ を指す)