問題2では、逆三角関数の導関数を求める問題です。具体的には、(1) $arcsin(2x)$、(2) $arccos(x^2 - 1)$、(3) $arctan(\sqrt{x})$ の導関数を求めます。問題3では、$f(x) = (arctan(x))^{log(x)}$ の導関数を求めます。

はい、承知いたしました。問題2と問題3について、それぞれ導関数を求めます。

1. 問題の内容

問題2では、逆三角関数の導関数を求める問題です。具体的には、(1) $arcsin(2x)$、(2) $arccos(x^2 - 1)$、(3) $arctan(\sqrt{x})$ の導関数を求めます。問題3では、$f(x) = (arctan(x))^{log(x)}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

問題2:

(1) $y = arcsin(2x)$ の導関数

$arcsin(x)$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ です。

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot \frac{d(2x)}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

(2) $y = arccos(x^2 - 1)$ の導関数

$arccos(x)$ の導関数は $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ です。

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2 - 1)^2}} \cdot \frac{d(x^2 - 1)}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^4 - 2x^2 + 1)}} \cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{2x^2 - x^4}} = -\frac{2x}{\sqrt{x^2(2 - x^2)}} = -\frac{2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}$

ここで、$x > 0$の時 $\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{\sqrt{2-x^2}}$, $x < 0$の時 $\frac{dy}{dx}=\frac{2}{\sqrt{2-x^2}}$。

$x=0$の時、arccos(-1)=$\pi$, これは定数なので微分すると0になる。したがって、微分は定義されない。

(3) $y = arctan(\sqrt{x})$ の導関数

$arctan(x)$ の導関数は $\frac{1}{1 + x^2}$ です。

連鎖律を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d(\sqrt{x})}{dx} = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$

問題3:

$y = (arctan(x))^{log(x)}$ の導関数を求める

両辺の自然対数を取ると、

$ln(y) = log(x) \cdot ln(arctan(x))$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot ln(arctan(x)) + log(x) \cdot \frac{1}{arctan(x)} \cdot \frac{1}{1 + x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot [\frac{ln(arctan(x))}{x} + \frac{log(x)}{arctan(x)(1 + x^2)}]$

$\frac{dy}{dx} = (arctan(x))^{log(x)} \cdot [\frac{ln(arctan(x))}{x} + \frac{log(x)}{arctan(x)(1 + x^2)}]$

3. 最終的な答え

問題2:

(1) $\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

(2) $-\frac{2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}$

(3) $\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$

問題3:

$(arctan(x))^{log(x)} \cdot [\frac{ln(arctan(x))}{x} + \frac{log(x)}{arctan(x)(1 + x^2)}]$