次の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{h \to 0} (1 + 3h)^{\frac{1}{h}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$

1. 問題の内容

次の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{h \to 0} (1 + 3h)^{\frac{1}{h}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$

2. 解き方の手順

(1)

自然対数 $e$ の定義を利用します。

$e = \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}$ です。

$t = 3h$ とおくと、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ となります。

よって、

$\lim_{h \to 0} (1 + 3h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{3}{t}} = \lim_{t \to 0} ((1+t)^{\frac{1}{t}})^3 = e^3$

(2)

自然対数 $e$ の定義を利用します。

$e^y = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{y}{x})^x$ です。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ について、

$y = -2$ とおくと、$e^{-2} = \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $e^3$

(2) $e^{-2}$