実数 $a$ の範囲が $2 < a < 3$ のとき、3次関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(2a^2 + a - 6)x$ は極大値と極小値を持つ。$f(x)$ の極大値と極小値の和を $a$ の式で表して $g(a)$ とする。$g(a)$ を求め、$a$ がある値のとき $g(a)$ が極小値をとる時の $a$ の値と極小値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ の範囲が $2 < a < 3$ のとき、3次関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(2a^2 + a - 6)x$ は極大値と極小値を持つ。$f(x)$ の極大値と極小値の和を $a$ の式で表して $g(a)$ とする。$g(a)$ を求め、$a$ がある値のとき $g(a)$ が極小値をとる時の $a$ の値と極小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して極値を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(2a^2 + a - 6)$

$f'(x) = 3(x^2 - 2ax + 2a^2 + a - 6)$

$f'(x) = 3(x - (a - \sqrt{6 - a}))(x - (a + \sqrt{6 - a}))$

$f(x)$ が極値を持つためには、$6-a > 0$, つまり $a < 6$ である必要がある。

$2 < a < 3$ より、$f'(x)=0$ は異なる２つの実数解を持つ。

極大となる $x$ は $x = a - \sqrt{6 - a}$、極小となる $x$ は $x = a + \sqrt{6 - a}$。

極大値と極小値の和 $g(a)$ を求める。

$g(a) = f(a - \sqrt{6 - a}) + f(a + \sqrt{6 - a})$ を直接計算するのは難しいので、極大値と極小値を与える $x$ の和と積を求めて、解と係数の関係を利用する。

$f(x)$ の極大値と極小値の和 $g(a)$ は $f(x_1) + f(x_2)$ であり、ここで $x_1 = a - \sqrt{6 - a}$、 $x_2 = a + \sqrt{6 - a}$。

$x_1 + x_2 = 2a$

$x_1 x_2 = (a - \sqrt{6 - a})(a + \sqrt{6 - a}) = a^2 - (6 - a) = a^2 + a - 6$

$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(2a^2 + a - 6)x$ において、$x_1$ と $x_2$ が $f'(x) = 0$ の解であることから、$f(x)$ の極値の和を計算する。

$g(a) = f(x_1) + f(x_2) = (x_1^3 + x_2^3) - 3a(x_1^2 + x_2^2) + 3(2a^2 + a - 6)(x_1 + x_2)$

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (2a)^2 - 2(a^2 + a - 6) = 4a^2 - 2a^2 - 2a + 12 = 2a^2 - 2a + 12$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) = 2a((2a)^2 - 3(a^2 + a - 6)) = 2a(4a^2 - 3a^2 - 3a + 18) = 2a(a^2 - 3a + 18) = 2a^3 - 6a^2 + 36a$

$g(a) = (2a^3 - 6a^2 + 36a) - 3a(2a^2 - 2a + 12) + 3(2a^2 + a - 6)(2a) = 2a^3 - 6a^2 + 36a - 6a^3 + 6a^2 - 36a + 12a^3 + 6a^2 - 36a = 8a^3 + 6a^2 - 36a$

したがって、$g(a) = 8a^3 + 6a^2 - 36a$ となる。

次に、$g(a)$ の極小値を求める。

$g'(a) = 24a^2 + 12a - 36 = 12(2a^2 + a - 3) = 12(2a + 3)(a - 1)$

$g'(a) = 0$ となるのは $a = 1$ または $a = -\frac{3}{2}$ の時。

$g''(a) = 48a + 12$

$g''(1) = 48 + 12 = 60 > 0$ なので、$a=1$ で極小値をとる。しかし、$2 < a < 3$ なので $a = 1$ は不適。

$g''(-\frac{3}{2}) = 48(-\frac{3}{2}) + 12 = -72 + 12 = -60 < 0$ なので、$a = -\frac{3}{2}$ で極大値をとる。

$2 < a < 3$ の範囲で $g'(a) = 12(2a + 3)(a - 1)$ の符号を調べると、$g'(a) > 0$ なので、$g(a)$ は単調増加である。

したがって、$g(a)$ は極小値を持たない。問題文に $a$ がある値のとき $g(a)$ が極小値をとると書いてあるので、これは問題がおかしい。

しかし、問題文の通りに答えるとすると、$a=3$のとき、$f(x) = x^3 - 9x^2 + 3(2*9+3-6)x = x^3 - 9x^2 + 45x$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 45 = 3(x^2 - 6x + 15)$

判別式 $D = 36 - 4*15 < 0$ なので極値は存在しない。

$a=2$のとき、$f(x) = x^3 - 6x^2 + 3(2*4+2-6)x = x^3 - 6x^2 + 12x$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x-2)^2$

$f'(x) = 0$となるのは $x = 2$ の時のみなので極値は存在しない。

もう一度、$g(a) = 8a^3 + 6a^2 - 36a$ のグラフを考えてみる。

$g(a)$ が極小値をとるのは、$a = 1$ のとき。このときの極小値は $g(1) = 8 + 6 - 36 = -22$

$a=1$ は $2<a<3$ の範囲に入らないので、範囲内で極小値を取ることはない。

3. 最終的な答え

1: 8

2: 6

3: -3

4: 8

5: 6

6: 3

7: 6

8: 1

9: -2

10: 2

11: なし

g(a) = 8a^3 + 6a^2 - 36a

a = 1 のとき、g(a) は極小値 -22 をとる。