与えられた関数 $f(x)$ について、$x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を定義に従って求めます。 (1) $f(x) = \frac{1}{x+4}$ (2) $f(x) = -\sqrt{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、$x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を定義に従って求めます。

(1) $f(x) = \frac{1}{x+4}$

(2) $f(x) = -\sqrt{x}$

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、以下の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

これを用いて、それぞれの関数について微分係数を計算します。

(1) $f(x) = \frac{1}{x+4}$ の場合

$f(2) = \frac{1}{2+4} = \frac{1}{6}$

$f(2+h) = \frac{1}{(2+h)+4} = \frac{1}{h+6}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h+6} - \frac{1}{6}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 - (h+6)}{6(h+6)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{6(h+6)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{6h(h+6)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{6(h+6)} = \frac{-1}{6(0+6)} = \frac{-1}{36}$

(2) $f(x) = -\sqrt{x}$ の場合

$f(2) = -\sqrt{2}$

$f(2+h) = -\sqrt{2+h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sqrt{2+h} - (-\sqrt{2})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2+h}}{h}$

有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2} + \sqrt{2+h}$ を掛けます。

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{2+h})(\sqrt{2} + \sqrt{2+h})}{h(\sqrt{2} + \sqrt{2+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{2 - (2+h)}{h(\sqrt{2} + \sqrt{2+h})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(\sqrt{2} + \sqrt{2+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{2} + \sqrt{2+h}} = \frac{-1}{\sqrt{2} + \sqrt{2+0}}$

$= \frac{-1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(2) = -\frac{1}{36}$

(2) $f'(2) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$