関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, ...\}$ が範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系をなしているかどうかを調べる問題です。

1. 問題の内容

関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, ...\}$ が範囲 $[-\pi, \pi]$ で正規直交関数系をなしているかどうかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

正規直交関数系であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* 直交性：異なる関数同士の内積が0であること。

* 正規性：各関数のノルム（絶対値）が1であること。

まず、直交性を確認します。任意の自然数 $m, n$ について、以下の積分を計算します。

* $\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot \cos(nt) dt$

* $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mt) \cdot \cos(nt) dt$ （ただし、$m \neq n$）

* $\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot 1 dt$

* $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt) \cdot \cos(nt) dt$

次に、正規性を確認します。各関数のノルム（積分区間における二乗積分）を計算し、規格化されているか（ノルムが1になっているか）を確認します。

* $\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dt$

* $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nt) dt$

**ステップ1：直交性の確認**

* $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt) dt = \left[ \frac{\sin(nt)}{n} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(n\pi)}{n} - \frac{\sin(-n\pi)}{n} = 0$

* $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mt) \cos(nt) dt = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2} [\cos((m+n)t) + \cos((m-n)t)] dt$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin((m+n)t)}{m+n} + \frac{\sin((m-n)t)}{m-n} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0$ ($m \neq n$の場合)

**ステップ2：正規性の確認**

* $\int_{-\pi}^{\pi} 1 dt = [t]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

したがって，$1$ のノルムは $\sqrt{2\pi}$ となり、規格化されていません。

* $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nt) dt = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos(2nt)}{2} dt = \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin(2nt)}{4n} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi}{2} - \frac{-\pi}{2} = \pi$

したがって、$\cos(nt)$ のノルムは $\sqrt{\pi}$ となり、規格化されていません。

**ステップ3：規格化**

直交性は確認できましたが、正規化されていないため、各関数を規格化する必要があります。規格化された関数系は次のようになります。

$\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 3t}{\sqrt{\pi}}, ... \}$

3. 最終的な答え

関数群 $\{1, \cos t, \cos 2t, \cos 3t, ...\}$ は範囲 $[-\pi, \pi]$ で直交関数系をなしていますが、正規直交関数系ではありません。

規格化すると、正規直交関数系になります。

正規直交関数系: $\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2t}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 3t}{\sqrt{\pi}}, ... \}$