曲線 $y = \frac{1}{x} + 1$, 直線 $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x} + 1$, 直線 $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて計算できる。

$y = f(x)$ を $x$軸のまわりに回転させてできる体積は、

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ で求められる。

この問題では、$f(x) = \frac{1}{x} + 1$, $a = 1$, $b = 3$ なので、

$V = \pi \int_1^3 (\frac{1}{x} + 1)^2 dx$

$V = \pi \int_1^3 (\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} + 1) dx$

$V = \pi [-\frac{1}{x} + 2\ln|x| + x]_1^3$

$V = \pi [(-\frac{1}{3} + 2\ln3 + 3) - (-1 + 2\ln1 + 1)]$

$V = \pi [(-\frac{1}{3} + 2\ln3 + 3) - (0)]$

$V = \pi (-\frac{1}{3} + 2\ln3 + 3)$

$V = \pi (\frac{8}{3} + 2\ln3)$

$V = \frac{8 + 6\ln3}{3}\pi$

したがって、A = $\pi$, B = 1, C = 3, D = 2, E = $\pi$, F = 1, G = 3, H = $x^2$, I = 1, J = 8, K = 6, L = 3, M = 3

3. 最終的な答え

A = $\pi$

B = 1

C = 3

D = 2

E = $\pi$

F = 1

G = 3

H = $x^2$

I = 1

J = 8

K = 6

L = 3

M = 3