$\int \frac{1 - \sin x}{\cos x} dx$を計算します。

## 問題15

1. 問題の内容

$\int \frac{1 - \sin x}{\cos x} dx$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つの部分に分けます。

$\int \frac{1 - \sin x}{\cos x} dx = \int \frac{1}{\cos x} dx - \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

第1項は $\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \sec x dx$ であり、第2項は $\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \tan x dx$ です。

$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C_1$

$\int \tan x dx = - \ln |\cos x| + C_2$

したがって、

$\int \frac{1 - \sin x}{\cos x} dx = \ln |\sec x + \tan x| - (- \ln |\cos x|) + C$

$= \ln |\sec x + \tan x| + \ln |\cos x| + C$

$= \ln |(\sec x + \tan x) \cos x| + C$

$= \ln |(1 + \sin x)| + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\ln |1 + \sin x| + C$

## 問題16

1. 問題の内容

$\int e^{\sqrt{x}} dx$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。 $u = \sqrt{x}$ とおくと、$x = u^2$ であり、$dx = 2u du$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u (2u du) = 2 \int u e^u du$

次に、部分積分を行います。 $f = u$ 、 $g' = e^u$ とおくと、$f' = 1$ 、 $g = e^u$ となります。したがって、部分積分の公式 $\int f g' = fg - \int f' g$ を用いると、次のようになります。

$2 \int u e^u du = 2 (u e^u - \int 1 \cdot e^u du) = 2 (u e^u - e^u) + C$

$= 2 e^u (u - 1) + C$

ここで、$u = \sqrt{x}$ を代入すると、次のようになります。

$2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + C$

3. 最終的な答え

$2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + C$

## 問題17

1. 問題の内容

$\int \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$、$dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}) dx = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} (\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}) dx = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$

$v = x$

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) dx = x \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ を計算するために、置換積分を用います。 $t = x^2 + 1$ とおくと、$dt = 2x dx$ なので、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \int \frac{1}{2\sqrt{t}} dt = \sqrt{t} + C_1 = \sqrt{x^2 + 1} + C_1$

よって、

$\int \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) dx = x \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \sqrt{x^2 + 1} + C$

3. 最終的な答え

$x \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \sqrt{x^2 + 1} + C$