関数 $y = x^{3x}$ (ただし $x > 0$) の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3x}$ (ただし $x > 0$) の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln(x^{3x})$

$\ln y = 3x \ln x$

2. 両辺を $x$ で微分します。積の微分法則 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3$

3. $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y (3 \ln x + 3)$

4. $y = x^{3x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{3x} (3 \ln x + 3)$

5. 簡略化します。

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln x + 1)$