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問題は、与えられた単位円と補助線をもとに、三角関数 $y = \sin{\theta}$, $x = \cos{\theta}$, $y = \tan{\theta}$ のグラフを、それぞれの右側にある座標平面上に描くことです。

解析学三角関数グラフsincostan単位円漸近線
2025/6/8

1. 問題の内容

問題は、与えられた単位円と補助線をもとに、三角関数 y=sin⁡θy = \sin{\theta}, x=cos⁡θx = \cos{\theta}, y=tan⁡θy = \tan{\theta} のグラフを、それぞれの右側にある座標平面上に描くことです。

2. 解き方の手順

(1) y=sin⁡θy = \sin{\theta} のグラフ:
- 単位円上の点Pのy座標が、角度θ\thetaに対するsin⁡θ\sin{\theta}の値に対応します。
- θ=0\theta = 0 のとき、sin⁡θ=0\sin{\theta} = 0です。
- θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} のとき、sin⁡θ=12\sin{\theta} = \frac{1}{2}です。
- θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} のとき、sin⁡θ=22\sin{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}（約0.7）です。
- θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} のとき、sin⁡θ=32\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}（約0.87）です。
- θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} のとき、sin⁡θ=1\sin{\theta} = 1です。
- θ=π\theta = \pi のとき、sin⁡θ=0\sin{\theta} = 0です。
- θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} のとき、sin⁡θ=−1\sin{\theta} = -1です。
- θ=2π\theta = 2\pi のとき、sin⁡θ=0\sin{\theta} = 0です。
- これらの値を参考に、滑らかな曲線でグラフを描きます。
(2) x=cos⁡θx = \cos{\theta} のグラフ:
- 単位円上の点Pのx座標が、角度θ\thetaに対するcos⁡θ\cos{\theta}の値に対応します。
- θ=0\theta = 0 のとき、cos⁡θ=1\cos{\theta} = 1です。
- θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} のとき、cos⁡θ=32\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}（約0.87）です。
- θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} のとき、cos⁡θ=22\cos{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}（約0.7）です。
- θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} のとき、cos⁡θ=12\cos{\theta} = \frac{1}{2}です。
- θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} のとき、cos⁡θ=0\cos{\theta} = 0です。
- θ=π\theta = \pi のとき、cos⁡θ=−1\cos{\theta} = -1です。
- θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} のとき、cos⁡θ=0\cos{\theta} = 0です。
- θ=2π\theta = 2\pi のとき、cos⁡θ=1\cos{\theta} = 1です。
- これらの値を参考に、滑らかな曲線でグラフを描きます。
(3) y=tan⁡θy = \tan{\theta} のグラフ:
- tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} です。
- θ=0\theta = 0 のとき、tan⁡θ=0\tan{\theta} = 0です。
- θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} のとき、tan⁡θ=13\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}（約0.58）です。
- θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} のとき、tan⁡θ=1\tan{\theta} = 1です。
- θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} のとき、tan⁡θ=3\tan{\theta} = \sqrt{3}（約1.73）です。
- θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} のとき、tan⁡θ\tan{\theta}は定義されません（無限大に発散します）。θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} に漸近線が存在します。
- θ=π\theta = \pi のとき、tan⁡θ=0\tan{\theta} = 0です。
- θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} のとき、tan⁡θ\tan{\theta}は定義されません（無限大に発散します）。θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} に漸近線が存在します。
- θ=2π\theta = 2\pi のとき、tan⁡θ=0\tan{\theta} = 0です。
- これらの値を参考に、グラフを描きます。θ=π2+nπ\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi (nは整数) で漸近線になります。

3. 最終的な答え

グラフは説明が難しいので、描画したものを画像として示すのが理想的です。しかし、テキストで説明すると上記の通りです。各関数のグラフは、それぞれの定義域において連続的な曲線（tan⁡θ\tan{\theta}は漸近線を持つ）となります。

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