関数 $f_n(x) = \arctan(nx)$ に対して、$n \to \infty$ のときの極限 $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ を求め、そのグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f_n(x) = \arctan(nx)$ に対して、$n \to \infty$ のときの極限 $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ を求め、そのグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \arctan(nx)$ を求めるために、まず $x$ の値によって場合分けします。

* **$x > 0$ のとき**: $nx \to \infty$ as $n \to \infty$ なので、$\arctan(nx) \to \frac{\pi}{2}$ となります。

* **$x = 0$ のとき**: $nx = 0$ for all $n$ なので、$\arctan(nx) = \arctan(0) = 0$ となります。

* **$x < 0$ のとき**: $nx \to -\infty$ as $n \to \infty$ なので、$\arctan(nx) \to -\frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、$f(x)$ は以下のように定義されます。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{\pi}{2} & (x > 0) \\

0 & (x = 0) \\

-\frac{\pi}{2} & (x < 0)

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \begin{cases}

\frac{\pi}{2} & (x > 0) \\

0 & (x = 0) \\

-\frac{\pi}{2} & (x < 0)

\end{cases}$

この関数 $f(x)$ のグラフは、x軸上の$x=0$で値が$0$であり、$x>0$で値が$\frac{\pi}{2}$、$x<0$で値が$-\frac{\pi}{2}$となる階段状のグラフになります。