(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}+(-2)^{n+4}}{3^n-2^n}$ の値を求める問題です。 (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}+(-2)^{n+4}}{3^n-2^n}$ の値を求める問題です。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母を $3^n$ で割ります。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}+(-2)^{n+4}}{3^n-2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + (-2/3)^n \cdot (-2)^4}{1-(2/3)^n}$$

$n \to \infty$ のとき、 $|-2/3|<1$ と $|2/3|<1$ より、 $(-2/3)^n \to 0$ および $(2/3)^n \to 0$ となります。よって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + (-2/3)^n \cdot (-2)^4}{1-(2/3)^n} = \frac{3+0 \cdot 16}{1-0} = \frac{3}{1} = 3$$

(2) 部分分数分解を用いて、級数の部分和を求めます。

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$

したがって、

$$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$

この和は telescoping sum （望遠鏡和）になり、

$$\sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1}\right) = 1 - \frac{1}{2N+1}$$

よって、

$$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2N+1}\right)$$

したがって、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2N+1}\right) = \frac{1}{2}(1-0) = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 1/2