定積分 $\int_{e}^{e^2} \frac{\log x}{x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{e}^{e^2} \frac{\log x}{x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\log x = t$ と置換する。すると $\frac{1}{x} dx = dt$ となる。

積分範囲も変更する必要がある。

$x = e$ のとき、$t = \log e = 1$ である。

$x = e^2$ のとき、$t = \log e^2 = 2$ である。

したがって、積分は以下のように書き換えられる。

$\int_{1}^{2} t \, dt$

この積分は簡単に計算できる。

$\int_{1}^{2} t \, dt = \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (2^2 - 1^2) = \frac{1}{2} (4 - 1) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$