放物線 $y = x^2 + 1$ を $C$ とし、点 $P(a, 2a)$ を考える。 (1) 点 $P$ を通り、$C$ に接する直線の方程式を求める。 (2) (1)で求めた直線 $l$ と $y$ 軸の交点を $R(0, r)$ とするとき、$r>0$ となる $a$ の範囲を求める。また、放物線 $C$ と直線 $l$ および2直線 $x=0, x=a$ で囲まれた図形の面積 $T$ を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 1$ を $C$ とし、点 $P(a, 2a)$ を考える。

(1) 点 $P$ を通り、$C$ に接する直線の方程式を求める。

(2) (1)で求めた直線 $l$ と $y$ 軸の交点を $R(0, r)$ とするとき、$r>0$ となる $a$ の範囲を求める。また、放物線 $C$ と直線 $l$ および2直線 $x=0, x=a$ で囲まれた図形の面積 $T$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C$ 上の点 $(t, t^2+1)$ における接線の方程式は、微分して傾きを求めることから、$y' = 2x$ なので、傾きは $2t$ となる。したがって、接線の方程式は

$y = 2t(x-t) + t^2 + 1$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 + 1$

$y = 2tx - t^2 + 1$

これが点 $P(a, 2a)$ を通るので、

$2a = 2ta - t^2 + 1$

$t^2 - 2at + 2a - 1 = 0$

この $t$ に関する2次方程式の解は、接点の $x$ 座標を表す。点 $P$ を通る接線が2本あるとき、この2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。判別式 $D$ を計算すると、

$D/4 = (-a)^2 - (2a - 1) = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$

接線が2本存在するためには、$D/4 > 0$ である必要があるので、

$(a-1)^2 > 0$

$a \ne 1$

$t = \frac{2a \pm \sqrt{4(a^2-2a+1)}}{2} = a \pm \sqrt{a^2-2a+1} = a \pm \sqrt{(a-1)^2} = a \pm (a-1)$

よって、$t = a + (a-1) = 2a-1$ または $t = a - (a-1) = 1$

$t = 2a - 1$ のとき、接線は

$y = 2(2a-1)x - (2a-1)^2 + 1 = (4a-2)x - (4a^2 - 4a + 1) + 1 = (4a-2)x - 4a^2 + 4a$

$t = 1$ のとき、接線は

$y = 2(1)x - 1^2 + 1 = 2x$

(2)

直線 $l$ は、$y = (4a-2)x - 4a^2 + 4a$ と $y = 2x$ のいずれかである。

$r = -4a^2 + 4a$ であり、$r > 0$ となるのは、$-4a^2 + 4a > 0$ のとき。

$4a(-a+1) > 0$

$a(a-1) < 0$

$0 < a < 1$

$0 < a < 1$ のとき、放物線 $C$ と直線 $l$ および2直線 $x=0, x=a$ で囲まれた図形の面積 $T$ は、

$T = \int_0^a (x^2 + 1 - ((4a-2)x - 4a^2 + 4a)) dx = \int_0^a (x^2 + 1 - (4a-2)x + 4a^2 - 4a) dx$

$T = \int_0^a (x^2 - (4a-2)x + 4a^2 - 4a + 1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{4a-2}{2}x^2 + (4a^2-4a+1)x]_0^a$

$T = \frac{1}{3}a^3 - (2a-1)a^2 + (4a^2-4a+1)a = \frac{1}{3}a^3 - 2a^3 + a^2 + 4a^3 - 4a^2 + a$

$T = (\frac{1}{3} - 2 + 4)a^3 + (1-4)a^2 + a = \frac{7}{3}a^3 - 3a^2 + a$

3. 最終的な答え

(1)

ア: 2

イ: 1

ウ: 2

エ: 2

オ: 1

カ: 1

キ: 1

ク: 0

ケ: 1

コ: 4

サ: 2

シ: 4

ス: 4

セ: 2

(2)

ソ: 0

タ: 1

チ: 7

ツ: 3

テ: 3

すなわち、

$r = -4a^2 + 4a$ であり、$0 < a < 1$ のとき $r>0$。

$T = \frac{7}{3}a^3 - 3a^2 + a$