$xy$平面上の領域$D$の面積を定積分を用いて計算する問題です。 (1) $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \frac{1}{x^2}\}$ (2) $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \sqrt{x}\}$

1. 問題の内容

$xy$平面上の領域$D$の面積を定積分を用いて計算する問題です。

(1) $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \frac{1}{x^2}\}$

(2) $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \sqrt{x}\}$

2. 解き方の手順

(1)

面積は定積分で計算できます。

$x$は1から2まで、$y$は0から$\frac{1}{x^2}$まで変化するので、面積$S$は以下の積分で求められます。

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$

したがって、

$S = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^2 = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(2)

同様に、面積は定積分で計算できます。

$x$は0から2まで、$y$は0から$\sqrt{x}$まで変化するので、面積$S$は以下の積分で求められます。

$S = \int_{0}^{2} \sqrt{x} dx$

積分を計算します。

$\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

したがって、

$S = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}}) - 0 = \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$