$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$, $B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$, $C = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x \, dx$ の値をそれぞれ計算し、小さい順に並べる。

1. 問題の内容

$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$, $B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$, $C = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x \, dx$ の値をそれぞれ計算し、小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

まず、Aの値を計算します。

$\int \sin x \, dx = - \cos x + C$

なので、

$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = -0 + 1 = 1$

次に、Bの値を計算します。

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

なので、

$B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

最後に、Cの値を計算します。

$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx$

ここで、$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$ となるので、

$\int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{-1}{u} \, du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C$

したがって、

$C = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x \, dx = [-\ln|\cos x|]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\ln|\cos(\frac{\pi}{2})| - (-\ln|\cos(0)|) = -\ln(0) + \ln(1)$

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ なので、$\ln(0)$ は定義されず、$x = \frac{\pi}{2}$ で $\tan x$ が定義されないため、広義積分として考える必要があります。

$\lim_{a \to \frac{\pi}{2}-} \int_{0}^{a} \tan x \, dx = \lim_{a \to \frac{\pi}{2}-} [-\ln|\cos x|]_{0}^{a} = \lim_{a \to \frac{\pi}{2}-} (-\ln|\cos a| - (-\ln|\cos 0|)) = \lim_{a \to \frac{\pi}{2}-} (-\ln|\cos a|)$

$a$ が $\frac{\pi}{2}$ に近づくとき、$\cos a$ は $0$ に近づき、$\ln|\cos a|$ は $-\infty$ に近づくため、$-\ln|\cos a|$ は $\infty$ に発散します。

よって、$C = \infty$

A = 1, B = 1, C = $\infty$ なので、A = B < C となります。

3. 最終的な答え

A = B < C

または

AとBは同じ値で、Cが最も大きい。

A, B, Cを小さい順に並べると A = B < C