与えられた3つの微分方程式を分類する問題です。 (1) $y^{(4)} + xy'' + 2y = 1 + x^2$ (2) $y'' + \frac{1}{x^2}y' = 0$ (3) $yy' + x^2y' = 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの微分方程式を分類する問題です。

(1) $y^{(4)} + xy'' + 2y = 1 + x^2$

(2) $y'' + \frac{1}{x^2}y' = 0$

(3) $yy' + x^2y' = 1$

2. 解き方の手順

(1) $y^{(4)} + xy'' + 2y = 1 + x^2$ について:

- 階数: 4階

- 係数: $y''$の係数が$x$であるため、変数係数

- 線形性: $y$とその導関数について線形であるかを確認します。

　　　それぞれの項は$y$の導関数の一次の項で、それらの係数は$x$の関数です。

- 斉次性: 右辺が$1 + x^2$であるため、非斉次。

(2) $y'' + \frac{1}{x^2}y' = 0$ について:

- 階数: 2階

- 係数: $y'$の係数が$\frac{1}{x^2}$であるため、変数係数

- 線形性: $y$とその導関数について線形。

- 斉次性: 右辺が0であるため、斉次。

(3) $yy' + x^2y' = 1$ について:

- 階数: 1階

- 係数: $y'$の係数が$x^2$と$y$であるため、変数係数

- 線形性: $yy'$の項があるため、非線形。

- 斉次性: 右辺が1であるため、非斉次。

3. 最終的な答え

(1) 4階変数係数非斉次線形微分方程式

(2) 2階変数係数斉次線形微分方程式

(3) 1階変数係数非斉次非線形微分方程式