数列$\{a_n\}$について、以下の極限を求めます。 (ア) $\lim_{n \to \infty} (2n-1)a_n = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ と $\lim_{n \to \infty} na_n$ を求める。 (イ) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - 3}{2a_n + 1} = 2$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$について、以下の極限を求めます。

(ア) $\lim_{n \to \infty} (2n-1)a_n = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ と $\lim_{n \to \infty} na_n$ を求める。

(イ) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - 3}{2a_n + 1} = 2$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

$\lim_{n \to \infty} (2n-1)a_n = 1$ より、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n-1} = 0$

次に、

$\lim_{n \to \infty} na_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{2}$

(イ)

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - 3}{2a_n + 1} = 2$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ とすると、

$\frac{\alpha - 3}{2\alpha + 1} = 2$

$\alpha - 3 = 4\alpha + 2$

$-3\alpha = 5$

$\alpha = -\frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(ア) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, $\lim_{n \to \infty} na_n = \frac{1}{2}$

(イ) $\lim_{n \to \infty} a_n = -\frac{5}{3}$