定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の関数を項ごとに積分します。

$\int_{-1}^{1} x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_{-1}^{1} = \frac{1}{4}(1^4 - (-1)^4) = \frac{1}{4}(1-1) = 0$

$\int_{-1}^{1} 5x^2 dx = 5 \int_{-1}^{1} x^2 dx = 5 [\frac{1}{3}x^3]_{-1}^{1} = 5 (\frac{1}{3}(1^3 - (-1)^3)) = 5 (\frac{1}{3}(1 - (-1))) = 5 (\frac{2}{3}) = \frac{10}{3}$

$\int_{-1}^{1} -\frac{71}{2}x dx = -\frac{71}{2} \int_{-1}^{1} x dx = -\frac{71}{2} [\frac{1}{2}x^2]_{-1}^{1} = -\frac{71}{2} (\frac{1}{2}(1^2 - (-1)^2)) = -\frac{71}{2} (\frac{1}{2}(1-1)) = 0$

$\int_{-1}^{1} 4 dx = [4x]_{-1}^{1} = 4(1 - (-1)) = 4(2) = 8$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx = 0 + \frac{10}{3} + 0 + 8 = \frac{10}{3} + \frac{24}{3} = \frac{34}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{34}{3}$