問題は、2つの定積分を計算することです。 1. $\int_{0}^{3} \lfloor x \rfloor^2 dx$

1. 問題の内容

問題は、2つの定積分を計算することです。

1. $\int_{0}^{3} \lfloor x \rfloor^2 dx$

2. $\int_{0}^{3} x \lfloor x \rfloor dx$

ここで、$\lfloor x \rfloor$ は床関数（ガウス記号）を表し、$x$ 以下の最大の整数を意味します。

2. 解き方の手順

最初の積分：$\int_{0}^{3} \lfloor x \rfloor^2 dx$

床関数$\lfloor x \rfloor$は、$x$ が整数値を取るときに値が変化します。したがって、積分区間$[0, 3]$ を、床関数の値が一定となる区間に分割します。

* $0 \le x < 1$ のとき、$\lfloor x \rfloor = 0$

* $1 \le x < 2$ のとき、$\lfloor x \rfloor = 1$

* $2 \le x \le 3$ のとき、$\lfloor x \rfloor = 2$

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{3} \lfloor x \rfloor^2 dx = \int_{0}^{1} 0^2 dx + \int_{1}^{2} 1^2 dx + \int_{2}^{3} 2^2 dx$

$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{2} 1 dx + \int_{2}^{3} 4 dx$

$= 0 + [x]_{1}^{2} + [4x]_{2}^{3}$

$= 0 + (2 - 1) + (12 - 8)$

$= 0 + 1 + 4 = 5$

2番目の積分：$\int_{0}^{3} x \lfloor x \rfloor dx$

先と同様に、積分区間を分割します。

* $0 \le x < 1$ のとき、$\lfloor x \rfloor = 0$

* $1 \le x < 2$ のとき、$\lfloor x \rfloor = 1$

* $2 \le x \le 3$ のとき、$\lfloor x \rfloor = 2$

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{3} x \lfloor x \rfloor dx = \int_{0}^{1} x \cdot 0 dx + \int_{1}^{2} x \cdot 1 dx + \int_{2}^{3} x \cdot 2 dx$

$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{2} x dx + \int_{2}^{3} 2x dx$

$= 0 + [\frac{x^2}{2}]_{1}^{2} + [x^2]_{2}^{3}$

$= 0 + (\frac{4}{2} - \frac{1}{2}) + (9 - 4)$

$= 0 + \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{2} + \frac{10}{2} = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{3} \lfloor x \rfloor^2 dx = 5$

$\int_{0}^{3} x \lfloor x \rfloor dx = \frac{13}{2}$